Exercício 8.
Determine uma transformação linear T: \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{1 \times 2}(\mathbb{R}) tal que
T\left(p_{o}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \end{array}\right), \quad T\left(p_{1}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad T\left(p_{2}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \end{array}\right)
onde
p_{o}(x)=1, \quad p_{1}(x)=x, \quad p_{2}(x)=x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine uma transformação linear T: \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{1\times 2}(\mathbb{R}) que satisfaça três igualdades sobre polinômios base. As informações dadas são:
T\left(p_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right),\qquad T\left(p_{1}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right),\qquad T\left(p_{2}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right)
e os polinômios base são
p_{0}(x)=1,\qquad p_{1}(x)=x,\qquad p_{2}(x)=x^{2},\quad x\in\mathbb{R}.
A tarefa é encontrar uma fórmula explícita para T (ou uma matriz que a represente) que satisfaça essas três imagens.

Passo 2

Vamos usar que qualquer polinômio em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito de forma única como combinação linear das bases dadas. Ou seja, um polinômio genérico é
p(x)=a + b x + c x^{2},
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a,b,c são os coeficientes (as coordenadas) de p na base \{p_{0},p_{1},p_{2}\}. Não estamos a resolver ainda; só estou explicando como representar um polinômio qualquer para que possamos aplicar linearidade.

Passo 3

Recordando a definição de transformação linear: T é linear se para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v valem
T(\alpha u + \beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v).
Como \{p_{0},p_{1},p_{2}\} é base, a linearidade determina T completamente por suas imagens nesses vetores. Assim, para o polinômio p(x)=a+bx+cx^{2} temos, por linearidade,
T(p)=T\big(a p_{0} + b p_{1} + c p_{2}\big)=a\,T(p_{0}) + b\,T(p_{1}) + c\,T(p_{2}).

Passo 4

Agora substituímos as imagens fornecidas no enunciado:
a\,T(p_{0}) + b\,T(p_{1}) + c\,T(p_{2}) = a\left(\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right) + b\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right) + c\left(\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right).
Fazendo multiplicação escalar e soma de vetores componente a componente obtemos
T(p)=\left(\,a\cdot 1 + b\cdot 1 + c\cdot 0\;,\; a\cdot(-1) + b\cdot 0 + c\cdot 0\,\right).
Simplificando as componentes:
T(p)=\left(a+b,\; -a\right).

Passo 5

Escrevendo a resposta de forma mais direta: para p(x)=a+bx+cx^{2} temos
T\big(a+bx+cx^{2}\big)=\left(a+b,\; -a\right).
Aqui claramente a imagem não depende do coeficiente c, porque T(p_{2}) era o vetor nulo.

Passo 6

Também podemos dar a representação matricial de T em relação à base canônica \{p_{0},p_{1},p_{2}\} do domínio e à base canônica \{(1,0),(0,1)\} do contradomínio. As colunas da matriz são as coordenadas de T(p_{0}),T(p_{1}),T(p_{2}):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Então, para o vetor de coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} temos A\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\\\ -a\end{pmatrix}, que é exatamente a imagem que encontramos.]

Passo 7

Vamos checar rapidamente que a fórmula retorna corretamente as imagens dadas no enunciado:
T(p_{0})=T(1)=T(1+0\cdot x + 0\cdot x^{2})=(1+0,\,-1)=(1,-1),
T(p_{1})=T(x)=T(0+1\cdot x + 0\cdot x^{2})=(0+1,\;0)=(1,0),
T(p_{2})=T(x^{2})=T(0+0\cdot x + 1\cdot x^{2})=(0+0,\;0)=(0,0).
Está consistente com o enunciado.

Passo 8

Exemplo numérico de uso (pra fixar): para q(x)=2+3x+4x^{2} temos a=2,b=3,c=4. Aplicando a fórmula,
T(q)=(a+b,\;-a)=(2+3,\;-2)=(5,\,-2).
Isso mostra como usar rapidamente a fórmula na prova sem pensar demais.

Passo 9

Por fim, sobre unicidade: qualquer transformação linear que envia p_{0},p_{1},p_{2} nas imagens dadas tem que concordar com a fórmula acima para todos os polinômios, porque um polinômio qualquer é combinação linear desses três e a linearidade força a extensão única. Então a transformação encontrada é a única que satisfaz as condições.

Resposta

T\big(a+bx+cx^{2}\big)=\left(a+b,\; -a\right) para todo a,b,c\in\mathbb{R}.\n A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\end{pmatrix}]

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