p_{o}(x)=1, \quad p_{1}(x)=x, \quad p_{2}(x)=x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine uma transformação linear T: \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{1\times 2}(\mathbb{R}) que satisfaça três igualdades sobre polinômios base. As informações dadas são:
A tarefa é encontrar uma fórmula explícita para T (ou uma matriz que a represente) que satisfaça essas três imagens.
Passo 2
Vamos usar que qualquer polinômio em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito de forma única como combinação linear das bases dadas. Ou seja, um polinômio genérico é
p(x)=a + b x + c x^{2},
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a,b,c são os coeficientes (as coordenadas) de p na base \{p_{0},p_{1},p_{2}\}. Não estamos a resolver ainda; só estou explicando como representar um polinômio qualquer para que possamos aplicar linearidade.
Passo 3
Recordando a definição de transformação linear: T é linear se para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v valem
T(\alpha u + \beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v).
Como \{p_{0},p_{1},p_{2}\} é base, a linearidade determina T completamente por suas imagens nesses vetores. Assim, para o polinômio p(x)=a+bx+cx^{2} temos, por linearidade,
T(p)=T\big(a p_{0} + b p_{1} + c p_{2}\big)=a\,T(p_{0}) + b\,T(p_{1}) + c\,T(p_{2}).
Passo 4
Agora substituímos as imagens fornecidas no enunciado:
Escrevendo a resposta de forma mais direta: para p(x)=a+bx+cx^{2} temos
T\big(a+bx+cx^{2}\big)=\left(a+b,\; -a\right).
Aqui claramente a imagem não depende do coeficiente c, porque T(p_{2}) era o vetor nulo.
Passo 6
Também podemos dar a representação matricial de T em relação à base canônica \{p_{0},p_{1},p_{2}\} do domínio e à base canônica \{(1,0),(0,1)\} do contradomínio. As colunas da matriz são as coordenadas de T(p_{0}),T(p_{1}),T(p_{2}):
Então, para o vetor de coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} temos A\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\\\ -a\end{pmatrix}, que é exatamente a imagem que encontramos.]
Passo 7
Vamos checar rapidamente que a fórmula retorna corretamente as imagens dadas no enunciado:
T(p_{0})=T(1)=T(1+0\cdot x + 0\cdot x^{2})=(1+0,\,-1)=(1,-1),
T(p_{1})=T(x)=T(0+1\cdot x + 0\cdot x^{2})=(0+1,\;0)=(1,0),
T(p_{2})=T(x^{2})=T(0+0\cdot x + 1\cdot x^{2})=(0+0,\;0)=(0,0).
Está consistente com o enunciado.
Passo 8
Exemplo numérico de uso (pra fixar): para q(x)=2+3x+4x^{2} temos a=2,b=3,c=4. Aplicando a fórmula,
T(q)=(a+b,\;-a)=(2+3,\;-2)=(5,\,-2).
Isso mostra como usar rapidamente a fórmula na prova sem pensar demais.
Passo 9
Por fim, sobre unicidade: qualquer transformação linear que envia p_{0},p_{1},p_{2} nas imagens dadas tem que concordar com a fórmula acima para todos os polinômios, porque um polinômio qualquer é combinação linear desses três e a linearidade força a extensão única. Então a transformação encontrada é a única que satisfaz as condições.
Resposta
T\big(a+bx+cx^{2}\big)=\left(a+b,\; -a\right) para todo a,b,c\in\mathbb{R}.\nA=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\end{pmatrix}]