Etude a notureza das series
sumx=3^infty 1x ln x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumx=3^infty1xln x converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da integral.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1xln x para x>=3. Note que para x>1 temos ln x>0, então f(x)>0. Calculando a derivada, vemos que f'(x)<0, logo f é decrescente, contínua e positiva em [3,infty), condições que permitem aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral calculando a integral imprópria associada:
integral3^inftydxxln x

Passo 4

Para resolver, fazemos a substituição u=ln x, de modo que du=tfracdxx. Quando x=3, u=ln3; e quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira:
integralln3^inftyduu,

Passo 5

Sabemos que
integralln3^tduu=ln(u)|ln3^t=ln t-ln(ln3)
e ao fazer ttoinfty esse valor tende ao infinito. Por isso a integral diverge.

Passo 6

Pelo teste da integral, se a integral correspondente diverge, então a série sumx=3^infty1xln x também diverge.

Resposta

A série diverge.

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