O enunciado pede para decidir se a série converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da integral.
Passo 2
Definimos a função para . Note que para temos , então . Calculando a derivada, vemos que , logo é decrescente, contínua e positiva em , condições que permitem aplicar o teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral calculando a integral imprópria associada:
Passo 4
Para resolver, fazemos a substituição , de modo que . Quando , ; e quando , . A integral vira:
Passo 5
Sabemos que
e ao fazer ttoinfty esse valor tende ao infinito. Por isso a integral diverge.
Passo 6
Pelo teste da integral, se a integral correspondente diverge, então a série sumx=3^infty1xln x também diverge.