An evacuated glass bulb weighs 27.9214 g . Filled with dry air at 1 atm and 25^{\circ} \mathrm{C}, it weighs 28.0529 g . Filled with a mixture of methane and ethane, it weighs 28.0140 g . Calculate the mol percent of methane in the gas mixture.

Passo 1

O enunciado fornece pesos do bulbo de vidro nas três condições e pede o percentual molar de metano na mistura metano+etano. Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Peso do bulbo evacuado: 27,9214\\ \text{g}.
  • Peso do bulbo cheio com ar seco a 1\\ \text{atm} e 25^\circ\mathrm{C}: 28,0529\\ \text{g}.
  • Peso do bulbo cheio com a mistura (CH _4 + C _2H _6) sob as mesmas condições: 28,0140\\ \text{g}.
O que se pede:
  • Calcular o percentual molar (mol percent) de metano na mistura.

Passo 2

Calcular a massa do gás presente no bulbo em cada caso, subtraindo o peso do bulbo evacuado:
  • Massa do ar no bulbo:
m_{\text{ar}} = 28,0529 - 27,9214 = 0,1315\\ \text{g}.
  • Massa da mistura no bulbo:
m_{\text{mix}} = 28,0140 - 27,9214 = 0,0926\\ \text{g}.

Passo 3

Explicar a ideia física que vamos usar (mini-aula):
  • Para um gás ideal, a massa do gás contido num volume V à pressão P e temperatura T é dada por
m = n M,
onde n é o número de mols e M é a massa molar média do gás (em \text{g/mol}). Usando a lei dos gases ideais \,PV = nRT, tem-se
n = \frac{PV}{RT}\quad\Rightarrow\quad m = \frac{PV}{RT}\,M.
  • Se compararmos dois gases diferentes ocupando o mesmo recipiente nas mesmas condições de P e T (mesmo V), então \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{M_1}{M_2}. Ou seja: para mesmas P,T,V, a massa no bulbo é proporcional à massa molar média do gás.
Aplicação ao problema: o ar e a mistura ocupam o mesmo bulbo às mesmas P e T, logo
\frac{m_{\text{mix}}}{m_{\text{ar}}}=\frac{M_{\text{mix}}}{M_{\text{ar}}}.

Passo 4

Calcular a razão das massas medida e obter a massa molar média da mistura.
  • Razão das massas:
\frac{m_{\text{mix}}}{m_{\text{ar}}}=\frac{0,0926}{0,1315}\approx 0,7040.
  • Para M_{\text{ar}} (massa molar média do ar seco) usamos o valor-padrão aproximado
M_{\text{ar}} = 28,97\\ \text{g/mol}.
(Esse valor é a média ponderada das massas molares dos componentes do ar seco; é o valor usualmente adotado em problemas.)
  • Logo a massa molar média da mistura é
M_{\text{mix}} = \frac{m_{\text{mix}}}{m_{\text{ar}}}\,M_{\text{ar}} \approx 0,7040\times 28,97 \approx 20,395\\ \text{g/mol}.

Passo 5

Relacionar M_{\text{mix}} com as frações molares dos componentes (mini-aula curta sobre média molar):
  • Se x é a fração molar (mole fraction) do metano (CH _4) na mistura e 1-x a fração molar do etano (C _2H _6), a massa molar média da mistura é a média ponderada
M_{\text{mix}} = x M_{\text{CH}_4} + (1-x) M_{\text{C}_2\text{H}_6}.
  • Valores das massas molares (usando massas atômicas padrão: M_{\text{C}}\approx 12,01, M_{\text{H}}\approx 1,008):
M_{\text{CH}_4} \approx 16,04\\ \text{g/mol},\qquad M_{\text{C}_2\text{H}_6} \approx 30,07\\ \text{g/mol}.

Passo 6

Resolver a equação para x.
A equação é
x(16,04) + (1-x)(30,07) = 20,395.
Resolver passo a passo:
16,04x + 30,07 - 30,07x = 20,395,
(16,04 - 30,07)x = 20,395 - 30,07,
-14,03\,x = -9,675,
x = \frac{9,675}{14,03}\approx 0,6895.
Portanto a fração molar de metano é x\approx 0,6895, ou seja 68,95\% em mol.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • Faz sentido: o metano é mais leve que o etano, então uma mistura com massa molar média 20,395\\ \text{g/mol} leva a uma fração molar de metano maior que 50%. O valor obtido é consistente com as contas feitas.
  • Se preferir arredondar para duas casas significativas: 69,0\% mol de metano.

Resposta

68,95\%

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