Evaluate each limit.
lim x infty 2 x^2+3 x^4+16 x^2+5 x-10

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxtoinfty2x^2+3x^4+16x^2+5x-10
Isso é um caso de limite ao infinito de função racional. Vamos usar o método de comparação dos graus dos polinômios e, em seguida, fatorar pela maior potência de x.

Passo 2

Observe os graus dos polinômios: o numerador 2x^2+3x^4+1 é de grau 4, e o denominador 6x^2+5x-10 é de grau 2.
Para funções racionais, se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o limite em +infty será pminfty (dependendo do sinal do termo dominante).

Passo 3

Fatoramos x^4 no numerador e x^2 no denominador:
2x^2+3x^4+16x^2+5x-10 = x^4l(3 + tfrac2x^2 + tfrac1x^4r)x^2l(6 + tfrac5x - tfrac10x^2r) = x^2,3 + tfrac2x^2 + tfrac1x^46 + tfrac5x - tfrac10x^2
Ao fazermos xtoinfty, os termos tfrac2x^2, tfrac1x^4, tfrac5x, tfrac10x^2 tendem a zero, logo
3 + tfrac2x^2 + tfrac1x^46 + tfrac5x - tfrac10x^2 ;longrightarrow; 36 = tfrac12
Portanto a expressão fica assintoticamente
x^2cdottfrac12 = tfrac12,x^2

Passo 4

Como tfrac12,x^2to+infty quando xtoinfty e não há mudança de sinal, concluímos que o limite é +infty.

Resposta

+infty

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