Evaluate each limit.
lim x infty cos (x+4 pi x^210-2 x^2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftycos!l(x+4pi x^210-2x^2r).
O conteúdo necessário envolve limites no infinito de uma função racional e depois usar a continuidade de cos.

Passo 2

Vamos simplificar a fração dentro de cos. Dividindo numerador e denominador por x^2 obtemos
x+4pi x^210-2x^2 = x^2l(4pi + 1xr)x^2l(-2 + 10x^2r) = 4pi + 1x-2 + 10x^2

Passo 3

Agora calculamos o limite dessa expressão quando xtoinfty. Como 1xto0 e 10x^2to0,
limxtoinfty4pi + 1x-2 + 10x^2 = 4pi-2 = -2pi

Passo 4

A função cos é contínua, então
limxtoinftycos!l(x+4pi x^210-2x^2r) = cos!l(limxtoinftyx+4pi x^210-2x^2r) = cos(-2pi)

Passo 5

Sabendo que cos é par e cos(2pi)=1, temos cos(-2pi)=1.

Resposta

1

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