Evaluate the definite integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
, os limites de integração são
e
. A tarefa é avaliar esse valor numérico.
Passo 2
Uma ideia natural é fazer uma mudança de variável que centralize a potência em torno de zero, isto facilita porque potências ímpares têm simetrias. Definimos a substituição
Então
Precisamos também transformar os limites: quando
temos
, e quando
temos
. Assim a integral em termos de
fica
Passo 3
Agora observe a função dentro da integral:
. Vou explicar um conceito importante e útil aqui — função ímpar. Dizemos que uma função
é ímpar se, para todo
, vale
No nosso caso,
. Como
é um expoente ímpar, temos
ou seja,
é uma função ímpar.
Passo 4
Há uma propriedade muito prática: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Vou provar isso rapidamente, que é bem simples e serve para a prova também.
Se
é ímpar, considere
Na primeira integral faça a substituição
. Então
, e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Como
é ímpar,
, então
Somando com
obtemos zero:
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso com
e
(ímpar), obtemos imediatamente
Portanto, pela substituição feita antes,
Passo 6
Como checagem alternativa (útil para a prova): podemos também usar a antiderivada direta. Uma primitiva de
é
Avaliar entre
e
dá
confirmando o resultado obtido pela simetria.