Evaluate the definite integral.
\int_{0}^{2}(x-1)^{25} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}(x-1)^{25}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função (x-1)^{25}, os limites de integração são x=0 e x=2. A tarefa é avaliar esse valor numérico.

Passo 2

Uma ideia natural é fazer uma mudança de variável que centralize a potência em torno de zero, isto facilita porque potências ímpares têm simetrias. Definimos a substituição
u = x-1.
Então
du = dx.
Precisamos também transformar os limites: quando x=0 temos u=0-1=-1, e quando x=2 temos u=2-1=1. Assim a integral em termos de u fica
\int_{0}^{2}(x-1)^{25}\,dx = \int_{-1}^{1} u^{25}\,du.

Passo 3

Agora observe a função dentro da integral: u^{25}. Vou explicar um conceito importante e útil aqui — função ímpar. Dizemos que uma função f é ímpar se, para todo u, vale
f(-u) = -f(u).
No nosso caso, f(u)=u^{25}. Como 25 é um expoente ímpar, temos
(-u)^{25} = -(u^{25}),
ou seja, u^{25} é uma função ímpar.

Passo 4

Há uma propriedade muito prática: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Vou provar isso rapidamente, que é bem simples e serve para a prova também.
Se f é ímpar, considere
\int_{-a}^{a} f(u)\,du = \int_{-a}^{0} f(u)\,du + \int_{0}^{a} f(u)\,du.
Na primeira integral faça a substituição u=-t. Então du=-dt, e quando u=-a temos t=a, quando u=0 temos t=0. Assim
\int_{-a}^{0} f(u)\,du = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Como f é ímpar, f(-t)=-f(t), então
\int_{-a}^{0} f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Somando com \int_{0}^{a} f(u)\,du obtemos zero:
\int_{-a}^{a} f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt + \int_{0}^{a} f(t)\,dt = 0.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso com a=1 e f(u)=u^{25} (ímpar), obtemos imediatamente
\int_{-1}^{1} u^{25}\,du = 0.
Portanto, pela substituição feita antes,
\int_{0}^{2}(x-1)^{25}\,dx = 0.

Passo 6

Como checagem alternativa (útil para a prova): podemos também usar a antiderivada direta. Uma primitiva de (x-1)^{25} é
\frac{(x-1)^{26}}{26}.
Avaliar entre x=0 e x=2
\left.\frac{(x-1)^{26}}{26}\right|_{0}^{2} = \frac{(2-1)^{26}}{26} - \frac{(0-1)^{26}}{26} = \frac{1^{26}}{26} - \frac{(-1)^{26}}{26} = \frac{1}{26} - \frac{1}{26} = 0,
confirmando o resultado obtido pela simetria.

Resposta

0

Exercícios relacionados