Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Devemos apresentar a primitiva mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): usar substituição (trocar variável) porque o denominador é uma função de
e o numerador contém
, que é proporcional a
. Vou explicar a regra de substituição de forma clara:
- Regra de substituição: se fizermos
com , então
- Aqui é conveniente escolher
porque , então aparece o fator que temos no numerador (difere só por uma constante ). Isso vai simplificar muito a integral.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
- Definimos
. - Calculamos o diferencial:
, então . - Reescrevemos a integral em
. Observa que
Substituindo
e
, obtemos a integral em
:
Passo 4
Calcular a integral
usando a fórmula de potências:
- Fórmula: para
,
- Aqui
. Então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Voltar para a variável
substituindo
:
Portanto uma primitiva da função dada é
.
Passo 6
Verificação (derivando a primitiva para confirmar):
- Seja
. - Derivando
usando a regra da cadeia / regra do quociente (vou usar potência):
Derivando,
Simplificando os fatores:
Isso coincide com o integrando, logo a primitiva está correta.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia (pode ajudar na prova): calcule
pelo mesmo método.
- Fazendo
, , obtemos
Isso mostra o padrão: quando o numerador é
e o denominador é
, a substituição
transforma em potências de
fáceis de integrar.