\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma função racional cujo numerador é \;x\; e o denominador é \;(x^{2}+1)^{2}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Devemos apresentar a primitiva mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): usar substituição (trocar variável) porque o denominador é uma função de x^{2}+1 e o numerador contém \;x\,dx, que é proporcional a d(x^{2}+1). Vou explicar a regra de substituição de forma clara:
  • Regra de substituição: se fizermos \;u=g(x)\; com du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
  • Aqui é conveniente escolher \;u=x^{2}+1\; porque du=2x\,dx, então aparece o fator x\,dx que temos no numerador (difere só por uma constante 2). Isso vai simplificar muito a integral.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
  • Definimos \;u=x^{2}+1\;.
  • Calculamos o diferencial: \;du = 2x\,dx\;, então \;x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du\;.
  • Reescrevemos a integral em u. Observa que
\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{(u)^{2}}\cdot (x\,dx).
Substituindo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du e x^{2}+1=u, obtemos a integral em u:
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral \dfrac{1}{2}\int u^{-2}\,du usando a fórmula de potências:
  • Fórmula: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • Aqui n=-2. Então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right) + C = -\frac{1}{2u} + C.

Passo 5

Voltar para a variável x substituindo u=x^{2}+1:
-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.
Portanto uma primitiva da função dada é -\dfrac{1}{2(x^{2}+1)} + C.

Passo 6

Verificação (derivando a primitiva para confirmar):
  • Seja F(x) = -\dfrac{1}{2(x^{2}+1)}.
  • Derivando F usando a regra da cadeia / regra do quociente (vou usar potência):
F(x) = -\frac{1}{2}\,(x^{2}+1)^{-1}.
Derivando,
F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot (-1)\,(x^{2}+1)^{-2}\cdot (2x).
Simplificando os fatores:
F'(x) = \frac{1}{2}\cdot 2x\cdot (x^{2}+1)^{-2} = x\,(x^{2}+1)^{-2} = \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Isso coincide com o integrando, logo a primitiva está correta.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia (pode ajudar na prova): calcule \int \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx pelo mesmo método.
  • Fazendo u=x^{2}+1, x\,dx=\dfrac{1}{2}du, obtemos
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}u^{-2}+C = -\frac{1}{4(x^{2}+1)^{2}}+C.
Isso mostra o padrão: quando o numerador é x\,dx e o denominador é (x^{2}+1)^{k}, a substituição u=x^{2}+1 transforma em potências de u fáceis de integrar.

Resposta

-\dfrac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+C

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