Evaluate the indefinite integral.
\int x \sin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int x \sin\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é x\sin\!\left(x^{2}\right); queremos uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda) e devemos incluir a constante de integração C. Não há outras condições ou valores fornecidos.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integral (sem resolver ainda): dentro do seno temos a função \,x^{2}\, e fora um fator x. Esse é um padrão que costuma indicar que a substituição u= (a parte dentro do seno) pode simplificar a integral, porque a derivada de x^{2} é proporcional a x. Vou explicar a ideia da substituição de forma simples: se tivermos uma integral da forma
\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx,
podemos tomar u=g(x) e então du=g'(x)\,dx, transformando a integral em \int f(u)\,du, que normalmente é mais fácil. Aqui vamos aplicar exatamente isso.

Passo 3

Faça a substituição. Defino
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
Isso significa que
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora substituo u e x\,dx na integral original:
\int x \sin\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int \sin(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Calcule a integral em u. Sabemos que a derivada de \cos(u) é -\sin(u), portanto uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Assim,
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que apareceu antes:
\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 5

Volto à variável original substituindo u = x^{2}:
-\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}\right) + C.
Antes de finalizar, verifico rapidamente derivando essa primitiva para garantir que volta à integranda: derive -\tfrac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}\right). Pelo regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}\right)\right) = -\frac{1}{2}\bigl(-\sin\!\left(x^{2}\right)\bigr)\cdot 2x = x\sin\!\left(x^{2}\right),
que é exatamente a integranda. Tudo consistente.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}\right) + C

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