Evaluate the indefinite integral.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
; queremos uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda) e devemos incluir a constante de integração
. Não há outras condições ou valores fornecidos.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integral (sem resolver ainda): dentro do seno temos a função
e fora um fator
. Esse é um padrão que costuma indicar que a substituição
(a parte dentro do seno) pode simplificar a integral, porque a derivada de
é proporcional a
. Vou explicar a ideia da substituição de forma simples: se tivermos uma integral da forma
podemos tomar
e então
, transformando a integral em
, que normalmente é mais fácil. Aqui vamos aplicar exatamente isso.
Passo 3
Faça a substituição. Defino
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isso significa que
Agora substituo
e
na integral original:
Passo 4
Calcule a integral em
. Sabemos que a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. Assim,
Multiplicando pelo fator
que apareceu antes:
Passo 5
Volto à variável original substituindo
:
Antes de finalizar, verifico rapidamente derivando essa primitiva para garantir que volta à integranda: derive
. Pelo regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Tudo consistente.