Evaluate the Poisson bracket between the following Cartesian components of the classical orbital angular momentum: Lx and Ly. That is, compute the quantity:
Lx, Ly=sumj=1^3(partial Lxpartial qj partial Lypartial pj-partial Lxpartial pj partial Lypartial pj),
where q1=x, q2=y, q3=z e p1=px, p2=py, p3=pz. Further, compute explicitly the commutator between the operators Lx and Ly and compare it with the classical Poisson bracket.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre mecânica clássica e quântica! A gente precisa calcular o braco de Poisson entre os componentes cartesianos do momento angular clássico, Lx e Ly. Depois, vamos calcular o comutador entre os operadores quânticos Lx e Ly e comparar os resultados. Para isso, vamos precisar entender o que é o momento angular, o braco de Poisson e os comutadores na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. No espaço tridimensional, o momento angular L de uma partícula é dado por:
L = r times p
Onde r é o vetor posição (x, y, z) e p é o vetor momento (px, py, pz). Os componentes cartesianas são:
Lx = y pz - z py
Ly = z px - x pz
Lz = x py - y px

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o braco de Poisson. É uma operação que nos ajuda a entender como duas grandezas físicas se relacionam no contexto da mecânica clássica. A fórmula geral para o braco de Poisson entre duas funções A e B das coordenadas generalizadas qj e dos momentos conjugados pj é:
A, B = sumj=1^3 ( partial Apartial qj partial Bpartial pj - partial Apartial pj partial Bpartial qj )
No nosso caso, A = Lx e B = Ly, e as coordenadas generalizadas são q1 = x, q2 = y, q3 = z, com momentos p1 = px, p2 = py, p3 = pz.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, derivadas de Lx:
partial Lxpartial x = 0 partial Lxpartial y = pz partial Lxpartial z = -py
partial Lxpartial px = 0 partial Lxpartial py = -z partial Lxpartial pz = y
Agora, derivadas de Ly:
partial Lypartial x = -pz partial Lypartial y = 0 partial Lypartial z = px
partial Lypartial px = z partial Lypartial py = 0 partial Lypartial pz = -x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do braco de Poisson:
Lx, Ly = sumj=1^3 ( partial Lxpartial qj partial Lypartial pj - partial Lxpartial pj partial Lypartial qj )
Vamos calcular termo a termo:
Para j=1 (x):
partial Lxpartial x partial Lypartial px - partial Lxpartial px partial Lypartial x = 0 cdot z - 0 cdot (-pz) = 0
Para j=2 (y):
partial Lxpartial y partial Lypartial py - partial Lxpartial py partial Lypartial y = pz cdot 0 - (-z) cdot 0 = 0
Para j=3 (z):
partial Lxpartial z partial Lypartial pz - partial Lxpartial pz partial Lypartial z = (-py) cdot (-x) - y cdot px = py x - y px

Passo 6

Somando todos os termos:
Lx, Ly = 0 + 0 + (py x - y px) = py x - y px
Mas olha só, isso é exatamente Lz:
Lz = x py - y px
Então:
Lx, Ly = Lz

Passo 7

Agora, vamos para a parte quântica. Queremos calcular o comutador entre os operadores Lx e Ly. O comutador é definido como:
[A, B] = AB - BA
Sabemos que os operadores de momento angular obedecem a seguinte relação de comutação:
[Lx, Ly] = i hbar Lz

Passo 8

Comparando os dois resultados:
  • Na mecânica clássica, o braco de Poisson Lx, Ly = Lz.
  • Na mecânica quântica, o comutador .
Isso mostra que a estrutura algébrica das grandezas físicas é mantida ao passar da clássica para a quântica, com o braco de Poisson correspondendo ao comutador dividido por [Lx, Ly] = i hbar Lz.

Resposta

O braco de Poisson entre Lx e Ly é igual a Lz, ou seja:
Lx, Ly = Lz
Já o comutador entre os operadores Lx e na mecânica quântica é:
Ly
Isso confirma a relação clássica-quântica onde o braco de Poisson corresponde ao comutador dividido por [Lx, Ly] = i hbar Lz .

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