Evaluate the Poisson bracket between the following Cartesian components of the classical orbital angular momentum:
and
. That is, compute the quantity:
where
e
. Further, compute explicitly the commutator between the operators
and
and compare it with the classical Poisson bracket.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre mecânica clássica e quântica! A gente precisa calcular o braco de Poisson entre os componentes cartesianos do momento angular clássico,
e
. Depois, vamos calcular o comutador entre os operadores quânticos
e
e comparar os resultados. Para isso, vamos precisar entender o que é o momento angular, o braco de Poisson e os comutadores na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. No espaço tridimensional, o momento angular
de uma partícula é dado por:
Onde
é o vetor posição
e
é o vetor momento
. Os componentes cartesianas são:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o braco de Poisson. É uma operação que nos ajuda a entender como duas grandezas físicas se relacionam no contexto da mecânica clássica. A fórmula geral para o braco de Poisson entre duas funções
e
das coordenadas generalizadas
e dos momentos conjugados
é:
No nosso caso,
e
, e as coordenadas generalizadas são
,
,
, com momentos
,
,
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, derivadas de
:
Agora, derivadas de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do braco de Poisson:
Vamos calcular termo a termo:
Para
(x):
Para
(y):
Para
(z):
Passo 6
Somando todos os termos:
Mas olha só, isso é exatamente
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos para a parte quântica. Queremos calcular o comutador entre os operadores
e
. O comutador é definido como:
Sabemos que os operadores de momento angular obedecem a seguinte relação de comutação:
Passo 8
Comparando os dois resultados:
- Na mecânica clássica, o braco de Poisson
. - Na mecânica quântica, o comutador .
Isso mostra que a estrutura algébrica das grandezas físicas é mantida ao passar da clássica para a quântica, com o braco de Poisson correspondendo ao comutador dividido por
.
Resposta
O braco de Poisson entre
e
é igual a
, ou seja:
Já o comutador entre os operadores
e na mecânica quântica é:
Isso confirma a relação clássica-quântica onde o braco de Poisson corresponde ao comutador dividido por
.