Um evaporador contínuo de efeito simples concentra uma solução aquosa de NaOH de 44 \% (em massa) até 54 \% (em massa). O vapor de aquecimento ( S ) é vapor d’água saturado a 400 kPa e a alimentação encontra-se a 20^{\circ} \mathrm{C}. A pressão no interior do evaporador ( P ) é de 19,94 \mathrm{kPa}. O evaporador tem uma área de transferência de calor (A) de 230 \mathrm{~m}^{2} e foi estimado que o seu coeficiente global de transferência de calor (U) é 2000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a. A temperatura da solução dentro do evaporador;
b. A temperatura do vapor de aquecimento ( \mathrm{T}_{\mathrm{S}} );
c. A fluxo de calor (Q), em kW, fornecido a solução;
d. A vazão mássica (kg/s) de vapor de aquecimento (S);
e. As entalpias das correntes líquidas ( \mathrm{h}_{\mathrm{F}} e \mathrm{h}_{\mathrm{L}} ) em kJ/kg;
f. A entalpia da corrente de vapor d’água superaquecido ( \mathrm{H}_{\mathrm{V}} ) que deixa o evaporador (KJ/kg);
g. A vazão mássica da corrente de alimentação (F) em kg/s;
h. A vazão mássica da solução concentrada produzida (L) em kg/s;
i. A economia no evaporador (V/S);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para ficarmos alinhados (não resolvo nada ainda).
Dados fornecidos:
  • Concentração da alimentação: \,x_F=44\% (em massa) de NaOH.
  • Concentração da solução concentrada (produto): \,x_L=54\% (em massa) de NaOH.
  • Temperatura da alimentação: \,T_F=20^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão no interior do evaporador: \,P=19{,}94\\ \mathrm{kPa}.
  • Vapor de aquecimento (corrente S) é vapor d’água saturado a \,400\\ \mathrm{kPa}.
  • Área de troca térmica: \,A=230\\ \mathrm{m}^2.
  • Coeficiente global de transferência de calor: \,U=2000\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O enunciado pede:
a. A temperatura da solução dentro do evaporador ( T_{sol}).
b. A temperatura do vapor de aquecimento ( T_S).
c. O fluxo de calor Q fornecido à solução (em kW).
d. A vazão mássica de vapor de aquecimento S (kg/s).
e. As entalpias das correntes líquidas h_F e h_L (kJ/kg).
f. A entalpia da corrente de vapor d’água que sai do evaporador H_V (kJ/kg).
g. A vazão mássica da alimentação F (kg/s).
h. A vazão mássica da solução concentrada produzida L (kg/s).
i. A economia no evaporador V/S (onde V é a vazão mássica do vapor gerado).
Observações iniciais que usarei na resolução (já que preciso delas para continuar):
  • A solução em ebulição tem temperatura igual à temperatura de saturação da água à pressão interna do evaporador (explico isso quando aplicar).
  • Vou usar propriedades de vapor saturado retiradas de tabelas convencionais de vapor (vou indicar os valores que peguei).
  • Para as entalpias das correntes líquidas vou aproximar com um valor típico de calor específico igual ao da água líquida ( c_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}), e considerar entalpia sensível h=c_p\,(T-T_{ref}) com referência T_{ref}=0^\circ\mathrm{C} (explico a justificativa na etapa apropriada).

Passo 2

Determinar a temperatura da solução dentro do evaporador.
Conceito rápido e didático: a ebulição ocorre quando a pressão de vapor da água na solução iguala a pressão externa. Assim, a temperatura de ebulição da solução (desprezando elevações de ponto de ebulição por soluto) é a temperatura de saturação da água à pressão do evaporador. Ou seja, para calcular T_{sol} usamos a tabela de vapor saturado e lemos a temperatura que corresponde a P=19{,}94\\ \mathrm{kPa}.
Peguei o valor na tabela de vapor saturado:
P=19{,}94\\ \mathrm{kPa}\longrightarrow T_{\text{sat}} \approx 60{,}00^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_{sol}=60{,}00^\circ\mathrm{C}.
(Observação de didática: em soluções fortes como NaOH existe elevação do ponto de ebulição; em muitos exercícios de turma essa elevação é desprezada a menos que seja pedido explicitamente. Aqui seguimos a suposição usual de usar a temperatura de saturação à pressão do evaporador.)

Passo 3

Determinar a temperatura do vapor de aquecimento T_S.
Conceito: vapor saturado a uma dada pressão tem temperatura fixa igual à temperatura de saturação correspondente. Peguei o valor na tabela de vapor saturado para P_S=400\\ \mathrm{kPa}.
Da tabela:
P_S=400\\ \mathrm{kPa}\longrightarrow T_S \approx 143{,}61^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_S = 143{,}61^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o fluxo de calor Q fornecido à solução pelo vapor de aquecimento usando a lei de transferência de calor.
Fórmula e justificativa: para transferência de calor por condensação do vapor em uma superfície e ebulição do líquido no outro lado, se a temperatura do vapor no lado quente é praticamente constante ( T_S) e a temperatura de ebulição do líquido é praticamente constante ( T_{sol}), então a diferença de temperatura que dirige o calor é \Delta T = T_S - T_{sol} e podemos usar:
Q = U\,A\,(T_S - T_{sol}).
Aqui Q em W quando U em \mathrm{W/m^2\,^\circ C}, A em \mathrm{m^2} e temperaturas em ^\circ\mathrm{C}.
Substituindo:
Q = 2000\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}}\cdot 230\\ \mathrm{m}^2\cdot(143{,}61-60{,}00)^\circ\mathrm{C}.
Calculo:
T_S-T_{sol}=83{,}61^\circ\mathrm{C},
Q = 2000\cdot 230\cdot 83{,}61 = 38\,460{,}600\\ \mathrm{W} = 38\,460{,}6\\ \mathrm{kW}.
Portanto
Q \approx 38\,460{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica de vapor de aquecimento S (kg/s).
Conceito e fórmula: o calor Q fornecido ao sistema provém da condensação do vapor de aquecimento. A energia liberada por condensação de 1 kg de vapor saturado a 400\\ \mathrm{kPa} é o calor latente àquela pressão, que é h_{fg} (obtido em tabelas: h_{fg}=h_g-h_f). Peguei na tabela de vapor saturado para P_S=400\\ \mathrm{kPa} (valores típicos):
Da tabela (valores tabulados):
\text{a }400\\ \mathrm{kPa}:\quad h_f \approx 605{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_g \approx 2778{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
\Rightarrow h_{fg,S}=h_g-h_f \approx 2\,173\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia por segundo Q em kJ/s: Q=38\,460{,}6\\ \mathrm{kJ/s}.
A vazão mássica de vapor é
S=\frac{Q}{h_{fg,S}}=\frac{38\,460{,}6\\ \mathrm{kJ/s}}{2\,173\\ \mathrm{kJ/kg}}\approx 17{,}70\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto
S \approx 17{,}70\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Fazer os balanços de massa (soluto e total de água) para relacionar F, L e V.
Definições e suposições:
  • F é vazão mássica da alimentação (kg/s).
  • L é vazão mássica da solução concentrada (produto) (kg/s).
  • V é vazão mássica do vapor gerado pelo evaporador (kg/s) (assumimos vapor praticamente puro água).
  • Solução tem soluto NaOH não volatil, portanto todo NaOH permanece em L.
Balanço de massa do soluto (NaOH):
F\,x_F = L\,x_L \quad\Rightarrow\quad L = F\frac{x_F}{x_L}.
Substituindo x_F=0{,}44 e x_L=0{,}54:
L = F\frac{0{,}44}{0{,}54} = F\cdot\frac{22}{27} \approx 0{,}814814\,F.
Balanço de massa total de água:
massa água na alimentação =F(1-x_F),
massa água no produto =L(1-x_L),
água evaporada =V.
Logo
F(1-x_F)=L(1-x_L)+V.
Substituindo L em função de F e as frações:
V = F(1-x_F)-L(1-x_L)=F(1-x_F)-F\frac{x_F}{x_L}(1-x_L).
Com x_F=44\% e x_L=54\% isso simplifica (fazendo as contas) para:
V = F\cdot\frac{5}{27}\approx 0{,}185185\,F.
Resumo prático:
L=\frac{22}{27}F,\qquad V=\frac{5}{27}F.

Passo 7

Calcular as entalpias das correntes líquidas h_F e h_L (kJ/kg), aproximando por calor sensível.
Motivação didática: para soluções aquosas e quando não se fornece uma tabela de propriedades da solução, é comum aproximar a variação de entalpia sensível com a capacidade calorífica média do líquido. Aqui uso c_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} (aproximação prática). Uso referência T_{ref}=0^\circ\mathrm{C}, então h=c_p\,(T-T_{ref}).
Cálculos:
h_F = c_p\,T_F = 4{,}18\cdot 20 = 83{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_L = c_p\,T_{sol} = 4{,}18\cdot 60 = 250{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto:
h_F \approx 83{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_L \approx 250{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Obs.: esta é uma aproximação que ignora entalpia de mistura e variação do c_p com concentração — procedimento padrão em exercícios quando não são fornecidos dados mais precisos.)

Passo 8

Determinar a entalpia do vapor que sai do evaporador H_V (kJ/kg).
Explicação: o vapor gerado no evaporador sai aproximadamente à temperatura de ebulição do sistema (saturado a P=19{,}94\\ \mathrm{kPa}), então sua entalpia será a entalpia do vapor saturado àquela temperatura (a não ser que explicitamente se peça superaquecimento e um grau de superaquecimento seja dado).
Peguei na tabela de vapor saturado para T_{sat}=60{,}00^\circ\mathrm{C} (correspondente a P=19{,}94\\ \mathrm{kPa}):
valores típicos:
\text{a }60^\circ\mathrm{C}:\quad h_g\\ (\text{vapor saturado})\approx 2\,675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então tomo
H_V \approx 2\,675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 9

Fazer o balanço de energia do evaporador e calcular F.
Balanço de energia (estado estacionário, sem trabalho nem perdas):
energia fornecida por troca térmica Q vai para aquecer a alimentação e formar os fluxos de produto e vapor:
Q + F\,h_F = L\,h_L + V\,H_V.
Substituindo L=\dfrac{22}{27}F e V=\dfrac{5}{27}F, obtemos
Q + F\,h_F = F\left(\frac{22}{27}h_L + \frac{5}{27}H_V\right).
Rearranjando para F:
F = \frac{Q}{\dfrac{22}{27}h_L + \dfrac{5}{27}H_V - h_F} = \frac{Q}{\dfrac{1}{27}\left(22h_L+5H_V\right)-h_F}.
Agora substituo valores (usar Q em kJ/s, e as entalpias em kJ/kg):
Q = 38\,460{,}6\\ \mathrm{kJ/s},
h_F = 83{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_L=250{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad H_V=2\,675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcular o denominador:
22h_L = 22\cdot 250{,}8 = 5\,517{,}6,
5H_V = 5\cdot 2\,675{,}6 = 13\,378{,}0,
22h_L+5H_V = 18\,895{,}6,
\frac{1}{27}(22h_L+5H_V) = \frac{18\,895{,}6}{27} \approx 699{,}833\\ \mathrm{kJ/kg}.
\text{Denominador} = 699{,}833 - 83{,}6 = 616{,}233\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
F = \frac{38\,460{,}6}{616{,}233}\approx 62{,}40\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto
F \approx 62{,}40\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 10

Calcular L e V a partir de F (usando as relações da massa).
Usando L=\tfrac{22}{27}F e V=\tfrac{5}{27}F:
L = \frac{22}{27}\cdot 62{,}40 \approx 50{,}85\\ \mathrm{kg/s},
V = \frac{5}{27}\cdot 62{,}40 \approx 11{,}55\\ \mathrm{kg/s}.
(Verificação rápida: F-L = 62{,}40-50{,}85=11{,}55\approx V.)

Passo 11

Calcular a economia do evaporador V/S.
Já temos V\approx 11{,}55\\ \mathrm{kg/s} e S\approx 17{,}70\\ \mathrm{kg/s}.
\frac{V}{S}=\frac{11{,}55}{17{,}70}\approx 0{,}652.
Interpretação rápida: como o vapor de aquecimento está a pressão/temperatura bem maiores do que a condição de ebulição do evaporador e o calor latente requerido para evaporar na baixa pressão é maior que o latente liberado pelo vapor de alta pressão, cada kg de vapor de aquecimento evapora menos de 1 kg de água ( V/S<1). Isso é normal quando a pressão de operação do evaporador é baixa.

Passo 12

Arredondamentos finais e resumo dos valores usados (para clareza):
  • Peguei T_{sat}(P=19{,}94\\ \mathrm{kPa})=60{,}00^\circ\mathrm{C} (tabela de vapor).
  • Peguei T_{sat}(P=400\\ \mathrm{kPa})=143{,}61^\circ\mathrm{C} (tabela).
  • Peguei h_{fg} à pressão do vapor de aquecimento \approx 2\,173\\ \mathrm{kJ/kg} (tabela).
  • Peguei entalpia do vapor saturado a 60^\circ\mathrm{C}: H_V\approx 2\,675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Usei c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} para entalpias líquidas sensíveis.

Resposta

(a) T_{sol}=60{,}00^\circ\mathrm{C}
(b) T_{S}=143{,}61^\circ\mathrm{C}
(c) Q=38\,460{,}6\\ \mathrm{kW}
(d) S=17{,}70\\ \mathrm{kg/s}
(e) h_F=83{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} e h_L=250{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}
(f) H_V=2\,675{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}
(g) F=62{,}40\\ \mathrm{kg/s}
(h) L=50{,}85\\ \mathrm{kg/s}
(i) V/S=0{,}652

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