Evaporadores

Um evaporador de múltiplo estágio está concentrando uma solução que não tem um elevado ponto de ebulição apreciável. A temperatura do vapor no 1^circ estágio é de 108 ^circ C, o ponto de ebulição da solução no último estágio é de 52^circ C. Todos os coeficientes de transferência de calor, em W / m^2 ^circ C, são de 2500 ( 1^circ efeito), 2000 ( 2^circ efeito) 1000 ( 3^circ efeito). A que temperatura o líquido evaporará no 1^circ efeito e no 2^circ efeito?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema sobre evaporadores de múltiplos estágios. A gente tem uma solução que está sendo concentrada e não tem um ponto de ebulição muito alto. No primeiro estágio, a temperatura do vapor é de 108 °C, e no último estágio, a solução ferve a 52 °C. Além disso, temos os coeficientes de transferência de calor para cada efeito: 2500, 2000 e 1000 W/(m²°C) para o 1º, 2º e 3º efeito, respectivamente. A gente quer descobrir a que temperatura o líquido vai evaporar no 1º e 2º efeitos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor e equilíbrio térmico entre os estágios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a transferência de calor em cada efeito depende da diferença de temperatura entre o vapor e o líquido, multiplicada pelo coeficiente de transferência de calor. A fórmula básica é:
Q = U times A times De
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor,
  • $ U $ é o coeficiente de transferência de calor,
  • $ A $ é a área de transferência de calor,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre o vapor e o líquido.
Como estamos lidando com múltiplos estágios e reutilizando o calor, a taxa de transferência de calor $ Q $ é a mesma em todos os efeitos. Vamos considerar que a área $ A $ também é constante para simplificar.

Passo 3

Vamos chamar as temperaturas dos líquidos no 1º e 2º efeitos de $ T_1 $ e $ T_2 $, respectivamente. No primeiro efeito, a temperatura do vapor é 108 °C, e no 3º efeito (último estágio), sabemos que a solução ferve a 52 °C. Então, temos:
Para o 1º efeito:
T1
T2
Para o 2º efeito:
Q = U1 times (108 - T1)
Q = 2500 times (108 - T1)
E para o 3º efeito:
Q = U2 times (T1 - T2)
Q = 2000 times (T1 - T2)

Passo 4

Como a taxa de transferência de calor $ Q $ é a mesma em todos os efeitos, podemos igualar as equações:
Q
2500 times (108 - T1) = 2000 times (T1 - T2) (1)
Vamos resolver essas equações para encontrar $ T_1 $ e $ T_2 $.

Passo 5

Começamos pela equação (2):
2000 times (T1 - T2) = 1000 times (T2 - 52)
Dividindo ambos os lados por 1000:
2 times (T1 - T2) = T2 - 52
Distribuindo o 2:
2T1 - 2T2 = T2 - 52
Agora, isolamos $ T_1 $:
T1
2T1 = 3T2 - 52

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de $ T_1 $ da equação (3) na equação (1):
T1
Simplificando:
2500 times (108 - 3T2 - 522) = 2000 times (3T2 - 522 - T2)
2500 times (108 - 3T2 - 522) = 2000 times (3T2 - 52 - 2T22)
2500 times (216 - 3T2 + 522) = 2000 times (T2 - 522)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar os denominadores:
2500 times 268 - 3T22 = 2000 times T2 - 522
2500 times (268 - 3T2) = 2000 times (T2 - 52)

Passo 7

Agora, vamos juntar os termos com $ T_2 $ de um lado e os números do outro:
T2
670000 + 104000 = 2000T2 + 7500T2
Dividindo ambos os lados por 9500:
774000 = 9500T2
T2 = 7740009500

Passo 8

Agora que temos $ T_2 $, podemos substituir de volta na equação (3) para encontrar $ T_1 $:
T2
T1
T1 = 3 times 81,47 - 522
T1 = 244,41 - 522

Resposta

A temperatura na qual o líquido evapora é aproximadamente 96,21 °C no 1º efeito e 81,47 °C no 2º efeito.

Exercícios relacionados