Ex-08: Um campo magnético em uma região do espaço é dado por
.
a) Verifique se
obedece à Lei de Gauss para o magnetismo,
.
b) Considere um cubo com faces paralelas aos planos coordenados, de lado
, com um de seus vértices na origem. Calcule: fluxo magnético através do cubo. Isto viola o Teorema de Gauss para o campo magnético?
a) Verifique se
b) Considere um cubo com faces paralelas aos planos coordenados, de lado
Passo 1
O enunciado fornece o campo magnético
e pede duas coisas:
a) verificar se ele satisfaz a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial, ;
b) calcular o fluxo magnético
através de um cubo de aresta com um vértice na origem e faces paralelas aos planos coordenados, e comentar se há violação da lei de Gauss na forma integral.
a) verificar se ele satisfaz a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial,
b) calcular o fluxo magnético
através de um cubo de aresta
Passo 2
Para verificar a lei de Gauss diferencial precisamos calcular
Derivando cada termo:
Passo 3
Somando os resultados obtemos
Como
em geral, o campo não satisfaz pontualmente
.
Passo 4
Para calcular o fluxo fechado através do cubo usamos o teorema da divergência (teorema de Gauss):
Passo 5
Separamos a integral em duas:
Logo,
Passo 6
O fluxo magnético através do cubo é
. Isso está de acordo com a forma integral da lei de Gauss para o magnetismo (
para qualquer superfície fechada). Entretanto, como descobrimos que
, o campo dado não satisfaz pontualmente a lei de Gauss (maxwelliana) para o magnetismo e, portanto, é um campo não-físico, mesmo que para este cubo específico o fluxo fechado seja zero.
Resposta
a)
, logo não satisfaz
.
b)
, não havendo violação do teorema de Gauss na forma integral para este cubo, mas o campo falha na forma diferencial (Maxwell) da lei de Gauss.