Ex-08: Um campo magnético em uma região do espaço é dado por \boldsymbol{B}(x, y, z)=(2 x y+z) \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+x^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}+-z^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{k}}.
a) Verifique se \boldsymbol{B}(x, y, z) obedece à Lei de Gauss para o magnetismo, \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B}=\mathbf{0}.
b) Considere um cubo com faces paralelas aos planos coordenados, de lado \boldsymbol{a}, com um de seus vértices na origem. Calcule: fluxo magnético através do cubo. Isto viola o Teorema de Gauss para o campo magnético?

Passo 1

O enunciado fornece o campo magnético
\boldsymbol{B}(x,y,z) = (2xy + z)\,\overrightarrow{\imath} \;+\; x^{2}\,\overrightarrow{\jmath} \;-\; z^{2}\,\overrightarrow{k}
e pede duas coisas:
a) verificar se ele satisfaz a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial, \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0;
b) calcular o fluxo magnético \Phi = \displaystyle\oint_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}
através de um cubo de aresta a com um vértice na origem e faces paralelas aos planos coordenados, e comentar se há violação da lei de Gauss na forma integral.

Passo 2

Para verificar a lei de Gauss diferencial precisamos calcular
\nabla\cdot\boldsymbol{B} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy+z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial z}(-z^{2}).
Derivando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(2xy+z) = 2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0,\quad \frac{\partial}{\partial z}(-z^{2}) = -2z.

Passo 3

Somando os resultados obtemos
\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 2y \;-\; 2z.
Como 2y-2z\neq0 em geral, o campo não satisfaz pontualmente \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0.

Passo 4

Para calcular o fluxo fechado através do cubo usamos o teorema da divergência (teorema de Gauss):
\Phi = \oint_{S}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{B})\,dV = \int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{a} (2y - 2z)\,dx\,dy\,dz.

Passo 5

Separamos a integral em duas:
\int_{V}2y\,dV = \Bigl(\int_{0}^{a}dx\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}2y\,dy\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}dz\Bigr) = a \cdot \bigl[2\cdot\tfrac{a^{2}}{2}\bigr] \cdot a = a^{4},
\int_{V}2z\,dV = \Bigl(\int_{0}^{a}dx\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}dy\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}2z\,dz\Bigr) = a \cdot a \cdot \bigl[2\cdot\tfrac{a^{2}}{2}\bigr] = a^{4}.
Logo,
\Phi = \int_{V}(2y-2z)\,dV = a^{4} - a^{4} = 0.

Passo 6

O fluxo magnético através do cubo é \Phi=0. Isso está de acordo com a forma integral da lei de Gauss para o magnetismo ( \Phi=0 para qualquer superfície fechada). Entretanto, como descobrimos que \nabla\cdot\boldsymbol{B}=2y-2z\neq 0, o campo dado não satisfaz pontualmente a lei de Gauss (maxwelliana) para o magnetismo e, portanto, é um campo não-físico, mesmo que para este cubo específico o fluxo fechado seja zero.

Resposta

a) \nabla\cdot\boldsymbol{B}=2y-2z\neq 0, logo não satisfaz \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0.
b) \Phi=0, não havendo violação do teorema de Gauss na forma integral para este cubo, mas o campo falha na forma diferencial (Maxwell) da lei de Gauss.

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