Ex-11: Um fio condutor longo e cilíndrico de raio R transporta uma corrente I uniformemente distribuída.
a) Use o Teorema de Stokes para determine o campo magnético \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) no interior do fio ( \boldsymbol{r}<\boldsymbol{R} ) e no exterior do fio ( \boldsymbol{r}>\boldsymbol{R} ).
b) O fluxo magnético que passa entre a superfície do fio e um raio arbitrário \boldsymbol{r} (dentro do fio) é o que contribui para a “indutância interna”. Calcule este fluxo.
c) A energia magnética armazenada por unidade de volume é \boldsymbol{u}_{\boldsymbol{B}}=\frac{\boldsymbol{B}^{\mathbf{2}}}{2 \boldsymbol{\mu}_{\mathbf{0}}}. Integrando \boldsymbol{u}_{\boldsymbol{B}} sobre o volume interno calcule a energia magnética total armazenada por unidade de comprimento dentro do fio, \boldsymbol{U}_{\text {Int }}.

Passo 1

O enunciado trata de um fio cilíndrico de raio R com corrente total I distribuída uniformemente em sua seção. Vamos usar o Teorema de Stokes (Lei de Ampère) para encontrar o campo magnético \mathbf{B}(r) em dois regimes: dentro r<R e fora r>R. Em seguida calculamos o fluxo magnético entre um raio arbitrário r (com r<R) e a superfície do fio, e por fim a energia magnética armazenada por unidade de comprimento dentro do fio, a partir de
u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}\,.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Ampère em circuito circular de raio r. A simetria cilíndrica impõe \mathbf{B}(r) tangente às circunferências, com módulo B(r) constante em cada raio. A Lei de Ampère diz
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B(r)\,(2\pi r) = \mu_0 I_{\rm enc}(r)\,,
onde I_{\rm enc}(r) é a corrente englobada pelo círculo de raio r.
Para r<R, a corrente está uniformemente distribuída em área \pi R^2, logo
I_{\rm enc}(r)=I\,\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I\,\frac{r^2}{R^2}\,.
Daí
B(r)\,2\pi r = \mu_0\,I\,\frac{r^2}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r \quad(r<R).

Passo 3

Para r>R, toda a corrente I está dentro do laço, então I_{\rm enc}(r)=I. Assim
B(r)\,2\pi r = \mu_0 I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi\,r} \quad(r>R).

Passo 4

Agora queremos o fluxo magnético por unidade de comprimento que passa entre um raio arbitrário r (ainda <R) e a superfície do fio R. Como as linhas de \mathbf{B} são tangenciais, o fluxo através de uma “janela” radial de espessura dr e comprimento unitária é
d\Phi = B(r)\,dr.
Integrando de r até R,
\Phi(r) =\int_{r}^{R} B(s)\,ds =\int_{r}^{R} \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,s\,ds =\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,\frac{R^2 - r^2}{2} =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 5

Para a energia magnética por unidade de comprimento interna, usamos
u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}
e integramos sobre o volume cilíndrico de raio R e comprimento unitária:
U_{\rm Int} =\int_{0}^{R} \frac{B(r)^2}{2\mu_0}\;2\pi r\,dr =\int_{0}^{R}\frac{1}{2\mu_0}\Bigl(\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r\Bigr)^{2}2\pi r\,dr.
Simplificando dentro do integral:
\frac{1}{2\mu_0}\Bigl(\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\Bigr)^{2}2\pi =\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 R^4}\,,
então
U_{\rm Int} =\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 R^4} \int_{0}^{R}r^3\,dr =\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 R^4}\,\frac{R^4}{4} =\frac{\mu_0 I^2}{32\pi^2}4\pi =\frac{\mu_0 I^2}{16\pi}.

Resposta

a)
\mathbf{B}(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r\;\hat\boldsymbol{\varphi},&r<R,\\[6pt] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi\,r}\;\hat\boldsymbol{\varphi},&r>R. \end{cases}
b)
\Phi(r) =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).
c)
U_{\rm Int}=\frac{\mu_0 I^2}{16\pi}\quad\text{(por unidade de comprimento).}]

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