Ex-11: Um fio condutor longo e cilíndrico de raio R transporta uma corrente I uniformemente distribuída.
a) Use o Teorema de Stokes para determine o campo magnético
no interior do fio (
) e no exterior do fio (
).
b) O fluxo magnético que passa entre a superfície do fio e um raio arbitrário
(dentro do fio) é o que contribui para a “indutância interna”. Calcule este fluxo.
c) A energia magnética armazenada por unidade de volume é
. Integrando
sobre o volume interno calcule a energia magnética total armazenada por unidade de comprimento dentro do fio,
.
a) Use o Teorema de Stokes para determine o campo magnético
b) O fluxo magnético que passa entre a superfície do fio e um raio arbitrário
c) A energia magnética armazenada por unidade de volume é
Passo 1
O enunciado trata de um fio cilíndrico de raio
com corrente total
distribuída uniformemente em sua seção. Vamos usar o Teorema de Stokes (Lei de Ampère) para encontrar o campo magnético
em dois regimes: dentro
e fora
. Em seguida calculamos o fluxo magnético entre um raio arbitrário
(com
) e a superfície do fio, e por fim a energia magnética armazenada por unidade de comprimento dentro do fio, a partir de
Passo 2
Aplicamos a Lei de Ampère em circuito circular de raio
. A simetria cilíndrica impõe
tangente às circunferências, com módulo
constante em cada raio. A Lei de Ampère diz
onde
é a corrente englobada pelo círculo de raio
.
Para
, a corrente está uniformemente distribuída em área
, logo
Daí
Passo 3
Para
, toda a corrente
está dentro do laço, então
. Assim
Passo 4
Agora queremos o fluxo magnético por unidade de comprimento que passa entre um raio arbitrário
(ainda
) e a superfície do fio
. Como as linhas de
são tangenciais, o fluxo através de uma “janela” radial de espessura
e comprimento unitária é
Integrando de
até
,
Passo 5
Para a energia magnética por unidade de comprimento interna, usamos
e integramos sobre o volume cilíndrico de raio
e comprimento unitária:
Simplificando dentro do integral:
então
Resposta
a)
b)
c)