Ex-12: Um solenoide longo de raio \boldsymbol{R} tem densidade de espiras que varia com a posição \boldsymbol{x} ao longo do seu eixo, dada por \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{\operatorname { s i n }}\left(\frac{\boldsymbol{\pi} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{L}}\right) para \mathbf{0} \leq \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{L}. Uma corrente \boldsymbol{I} flui pelas espiras.
a) Utilizando a Lei de Ampère (Teorema de Stokes), determine o campo magnético \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}) dentro do solenoide como função da posição.
b) Calcule o fluxo magnético total \boldsymbol{\Phi}_{\boldsymbol{B}} através da seção transversal do solenoide, integrando o campo \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}) sobre o comprimento \boldsymbol{L}.
c) c) Determine a auto-indutância \boldsymbol{L}_{\text {Solenóide }}.
Passo 1
O enunciado descreve um solenoide longo de raio R e densidade de espiras variando ao longo do eixo segundo
n(x)=n_{0}\,\sin\biggl(\frac{\pi x}{L}\biggr),
para 0\le x\le L, percorrido por uma corrente I.
Vamos usar:
A Lei de Ampère para obter B(x) dentro do solenoide.
Definição de fluxo magnético \Phi_{B}=\displaystyle\int B\cdot dA e integração em x.
Definição de auto-indutância L_{\text{sol}}=\lambda/I, onde \lambda é o fluxo de ligação total.
Passo 2
Aplicando a Lei de Ampère em um caminho retangular que envolve N_{\ell}=n(x)\,\ell espiras num comprimento \ell pequeno, temos
Para o fluxo magnético total pedem-se as linhas de campo que atravessam a seção transversal de área A=\pi R^{2} ao longo de todo o solenoide. Em cada posição x o fluxo por uma fatia é
Para a auto-indutância precisamos do fluxo de ligação total \lambda, somando a contribuição de cada espira. Cada espira em x vê fluxo \varphi(x)=A\,B(x) e há n(x)\,dx espiras em dx, então