Ex 22. Seja X uma v.a. que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel (em horas), com função densidade probabilidade dada por: \mathrm{f}(x)=9 x^{2}-8 x^{3}, para 0 \leq x \leq 1 e f(x)=0 caso contrário. Determine a probabilidade de uma determinada peça durar menos de meia hora para a pintura e o tempo médio esperado para a pintura da peça.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. contínua com densidade
f(x)=9x^{2}-8x^{3},\quad 0\le x\le1,
e pede (a) a probabilidade de pintar em menos de meia hora, isto é P(X<0,5), e (b) o tempo médio esperado E[X]. Vamos usar integração de densidade para probabilidades e a definição de esperança.

Passo 2

Para calcular
P(X<0,5)=\int_{0}^{0,5}f(x)\,dx
substituímos f(x)=9x^{2}-8x^{3}, obtendo
P(X<0,5)=\int_{0}^{0,5}\bigl(9x^{2}-8x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral:
\int 9x^{2}\,dx=3x^{3}, \qquad \int 8x^{3}\,dx=2x^{4}.
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P(X<0,5) =\bigl[\,3x^{3}-2x^{4}\bigr]_{0}^{0,5} =3\bigl(0,5^{3}\bigr)-2\bigl(0,5^{4}\bigr) =3\cdot\frac{1}{8}-2\cdot\frac{1}{16} =\frac{3}{8}-\frac{1}{8} =\frac{1}{4}=0,25.

Passo 4

Para o valor esperado, usamos
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\bigl(9x^{2}-8x^{3}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(9x^{3}-8x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculemos cada parte:
\int_{0}^{1}9x^{3}\,dx =9\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{4}, \qquad \int_{0}^{1}8x^{4}\,dx =8\cdot\frac{1}{5}=\frac{8}{5}.
Portanto
E[X] =\frac{9}{4}-\frac{8}{5} =\frac{45-32}{20} =\frac{13}{20} =0,65\text{ horas}.

Resposta

P(X<0,5)=0,25
E[X]=\tfrac{13}{20}=0,65 horas.

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