Ex 23. Considere que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água em um determinado lago seja igual a 3.
a) Qual a probabilidade de não se achar nenhuma colônia em 10 ml de água desse lago?
b) Qual a probabilidade de se achar pelo menos 5 colônias em uma amostra de 30 ml desse lago?

Passo 1

O enunciado fala de contagem de colônias de bactérias num lago e afirma que, em 10 ml de água, o número médio de colônias é 3. Isso indica um modelo de Poisson, pois estamos contando ocorrências raras num volume fixo. Para resolver precisamos usar a distribuição de Poisson, cujo parâmetro \lambda é a média de ocorrências no intervalo considerado, e a fórmula da função massa de probabilidade.

Passo 2

Para a parte (a) usamos X\sim\text{Poisson}(\lambda=3). A probabilidade de não encontrar nenhuma colônia em 10 ml é
P(X=0)=\frac{e^{-3}\,3^0}{0!}=e^{-3}\,.

Passo 3

Para a parte (b) o volume triplica (30 ml = 3×10 ml), então o parâmetro escala linearmente: Y\sim\text{Poisson}(\lambda=3\times3=9). Queremos
P(Y\ge5)=1 - P(Y\le4)
e
P(Y\le4)=\sum_{k=0}^{4}\frac{e^{-9}\,9^k}{k!}\,,
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P(Y\ge5)=1 - \sum_{k=0}^{4}\frac{e^{-9}\,9^k}{k!}\approx0,945.

Resposta

a) P(X=0)=e^{-3}\approx0,050
b) P(Y\ge5)=1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{4}\frac{e^{-9}9^k}{k!}\approx0,945

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