Ex. 1 - (2pt) Considere a função dada por f(x, y)=1x^2+y^2.
(a) Determine o domínio e a imagem.
(b) Determine a equação e o esboço das curvas de nível para k=1 / 4, k=1 e k=4 (coloque a escala).
(c) Qual é a curva de nível que contem o ponto (2,0) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=1x^2+y^2
e pede:
(a) domínio e imagem de f;
(b) equação e esboço das curvas de nível para k=tfrac14, k=1 e k=4;
(c) identificar qual curva de nível passa por (2,0).
O conteúdo é cálculo em várias variáveis, usando definição de domínio, imagem e curvas de nível.

Passo 2

Para o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo,
x^2+y^2neq0
Isto significa que (x,y) pode ser qualquer ponto em R^2 exceto a origem. Portanto
Dom(f)=R^2setminus(0,0)

Passo 3

Para a imagem, note que sempre temos x^2+y^2>0, então f(x,y)>0. Conforme (x,y)to(0,0), o denominador vai a zero e fto+infty; conforme |(x,y)|toinfty, o denominador cresce e fto0. Assim
Im(f)=(0,+infty)

Passo 4

A curva de nível de nível k>0 é o conjunto dos pontos (x,y) tais que
f(x,y)=k Long<=ftrightarrow 1x^2+y^2=k Long<=ftrightarrow x^2+y^2=1k
Isso são círculos centrados na origem de raio raiz1/k. Para os valores dados:
  • Se k=tfrac14, então x^2+y^2=4, logo raio 2.
  • Se k=1, então x^2+y^2=1, logo raio 1.
  • Se k=4, então x^2+y^2=tfrac14, logo raio tfrac12.

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar no plano xy três círculos concêntricos com raios 2, 1 e tfrac12. Marque no eixo x e y as unidades 0,tfrac12,1,2 e trace:
  • círculo de raio 2 (nível k=tfrac14);
  • círculo de raio 1 (nível k=1);
  • círculo de raio tfrac12 (nível k=4).

Passo 6

Para decidir qual nível contém o ponto (2,0), calculamos
f(2,0)=12^2+0^2=14=tfrac14
Portanto (2,0) está na curva de nível k=tfrac14.

Resposta

(a) Dom(f)=R^2setminus(0,0), Im(f)=(0,+infty).
(b) Curvas de nível são círculos x^2+y^2=1/k com raios raiz1/k; para k=tfrac14,1,4 os raios são 2,1,tfrac12.
(c) A curva de nível que contém (2,0) é a de k=tfrac14.

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