Ex. 1 - (2pt) Considere a função dada por
.
(a) Determine o domínio e a imagem.
(b) Determine a equação e o esboço das curvas de nível para
e
(coloque a escala).
(c) Qual é a curva de nível que contem o ponto
?
(a) Determine o domínio e a imagem.
(b) Determine a equação e o esboço das curvas de nível para
(c) Qual é a curva de nível que contem o ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
(a) domínio e imagem de ;
(b) equação e esboço das curvas de nível para ,
e
;
(c) identificar qual curva de nível passa por .
O conteúdo é cálculo em várias variáveis, usando definição de domínio, imagem e curvas de nível.
(a) domínio e imagem de
(b) equação e esboço das curvas de nível para
(c) identificar qual curva de nível passa por
O conteúdo é cálculo em várias variáveis, usando definição de domínio, imagem e curvas de nível.
Passo 2
Para o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo,
Isto significa que
pode ser qualquer ponto em
exceto a origem. Portanto
Passo 3
Para a imagem, note que sempre temos
, então
. Conforme
, o denominador vai a zero e
; conforme
, o denominador cresce e
. Assim
Passo 4
A curva de nível de nível
é o conjunto dos pontos
tais que
Isso são círculos centrados na origem de raio
. Para os valores dados:
- Se
, então , logo raio . - Se
, então , logo raio . - Se
, então , logo raio .
Passo 5
Para esboçar, basta desenhar no plano
três círculos concêntricos com raios
,
e
. Marque no eixo
e
as unidades
e trace:
- círculo de raio
(nível ); - círculo de raio
(nível ); - círculo de raio
(nível ).
Passo 6
Para decidir qual nível contém o ponto
, calculamos
Portanto
está na curva de nível
.
Resposta
(a)
,
.
(b) Curvas de nível são círculos com raios
; para
os raios são
.
(c) A curva de nível que contém é a de
.
(b) Curvas de nível são círculos
(c) A curva de nível que contém