Resolva os PVIs abaixo.
\left{ lt y^prime+(t+1) y=t y(ln 2)=1\right.

Passo 1

O problema é um PVI dado por
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
encontrar o fator integrante , usar
e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Dividindo a equação por t (assumindo tneq0), obtemos a forma padrão:
y'(t)+t+1t,y(t)=1
Aqui p(t)=1+1t e g(t)=1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integrall(1+tfrac1tr)dtr) =expl(t+ln tr) =t,e^t

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por mu(t), fica
t,e^t,y'(t)+(t+1)e^t,y(t)=t,e^t Longrightarrow l(t,e^t,y(t)r)'=t,e^t
Integramos ambos os lados:
t,e^t,y(t)=integral t,e^t,dt +C =e^t(t-1)+C

Passo 5

Isolando y(t):
y(t) =e^t(t-1)+Ct,e^t =t-1t+Ct,e^t

Passo 6

Usando y(ln(2))=1:
1 =ln(2)-1ln(2)+Cln(2),e^-ln(2) =1-1ln(2)+C2,ln(2)
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0=-1ln(2)+C2,ln(2) Longrightarrow C=2

Resposta

boxedy(t)=1-1t+2,e^-tt, tneq0

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