Resolva os PVIs abaixo.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
com condição inicial
. O conteúdo é de equação diferencial exata: vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
como
a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
. Integramos
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para determinar
, usamos
. Calculamos
Como
, igualamos e obtemos
integrando vem
. Assim
e a solução geral implícita é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
logo
. A solução implícita do PVI fica
Passo 6
Para escrever
em função de
resolvemos a quadrática
Pela fórmula de Bhaskara,
Como em
precisa dar
, escolhemos o sinal
. Assim
Resposta
A solução implícita é
e a solução explícita que satisfaz
é