Resolva os PVIs abaixo.
\left{ l(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0 y(1)=3\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
(2x - y),dx + (2y - x),dy = 0
com condição inicial y(1)=3. O conteúdo é de equação diferencial exata: vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2x-y, N(x,y)=2y-x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1,
como partial M/partial y=partial N/partial x a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que partial F/partial x=M. Integramos
F(x,y)=integral(2x-y),dx = x^2 - x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partial F/partial y=N. Calculamos
partial Fpartial y = -x + h'(y)
Como N(x,y)=2y-x, igualamos e obtemos
h'(y)=2y,
integrando vem h(y)=y^2. Assim
F(x,y)=x^2 - x,y + y^2
e a solução geral implícita é
x^2 - x,y + y^2 = C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(1)=3:
1^2 - 1cdot3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7,
logo C=7. A solução implícita do PVI fica
x^2 - x,y + y^2 = 7

Passo 6

Para escrever y em função de x resolvemos a quadrática
y^2 - x,y + (x^2 -7)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
y(x)=x pm raizx^2 -4(x^2-7)2 =x pm raiz28-3x^22
Como em x=1 precisa dar y=3, escolhemos o sinal +. Assim
y(x)=x + raiz28-3x^22

Resposta

A solução implícita é
x^2 - x,y + y^2 = 7
e a solução explícita que satisfaz y(1)=3 é
y(x)=x + raiz28-3x^22

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