(2.5) Encontre a solução geral do sistema
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -\frac{1}{2} & 1 \end{array}\right) X

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares de 1ª ordem
X^{\prime} = A X,
onde a matriz A é
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}.
  • Informações relevantes: A é uma matriz 2\times2. Espera-se que a solução geral seja uma combinação linear de duas soluções fundamentais reais e independentes.]

Passo 2

Calcular os autovalores de A (característica da matriz).
  • Escreve-se o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1-\lambda\end{pmatrix},
portanto
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2 - 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=(1-\lambda)^2 + 1.
  • Igualando a zero:
(1-\lambda)^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -1.
  • Logo
1-\lambda = \pm i \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1 \mp i.
  • Conclusão: os autovalores são complexos conjugados \lambda_1=1+i e \lambda_2=1-i. Isso indica que as soluções reais terão fator exponencial e^{t} multiplicando senos e cossenos (porque a parte real é 1 e a imaginária é 1).]

Passo 3

Encontrar um autovetor complexo associado a \lambda = 1+i.
  • Resolvemos (A-(1+i)I)v=0. A matriz é
A-(1+i)I=\begin{pmatrix}-i & 2 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -i\end{pmatrix}.
  • Para v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix} as equações são
-i v_1 + 2 v_2 = 0, \qquad -\tfrac{1}{2} v_1 - i v_2 = 0.
  • Da primeira equação obtém-se
v_1 = \frac{2}{i} v_2 = -2i\, v_2.
  • Escolhendo v_2 = 1 (para fixar uma escala), um autovetor associado é
v = \begin{pmatrix}-2i \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Separar partes real e imaginária do autovetor e usar a fórmula para obter soluções reais.
  • Escrevemos v = a + i b onde a e b são vetores reais. Para v=\begin{pmatrix}-2i\\[4pt]1\end{pmatrix} temos
a = \Re(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad b = \Im(v)=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Teorema usado (explicação didática): se \lambda=\alpha + i\beta é autovalor com autovetor v=a+ib, então duas soluções reais independentes do sistema são
X_1(t)=e^{\alpha t}\bigl(a\cos(\beta t)-b\sin(\beta t)\bigr),
X_2(t)=e^{\alpha t}\bigl(a\sin(\beta t)+b\cos(\beta t)\bigr).
Motivação curta: vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)t}v = e^{\alpha t}\bigl(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t)\bigr)(a+ib) e separar parte real e imaginária usando a fórmula de Euler e^{i\beta t}=\cos(\beta t)+i\sin(\beta t).
  • Aqui \alpha=1 e \beta=1. Substituindo a e b obtemos as duas soluções reais:
X_1(t)=e^{t}\biggl(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\cos t - \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\end{pmatrix}\sin t\biggr) = e^{t}\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix},
X_2(t)=e^{t}\biggl(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\sin t + \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\end{pmatrix}\cos t\biggr) = e^{t}\begin{pmatrix}-2\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificar independência linear e escrever a solução geral.
  • Os vetores solução X_1(t) e X_2(t) são linearmente independentes (pois suas componentes formam uma base de soluções reais para o sistema de ordem 2). Portanto a solução geral é uma combinação linear:
X(t) = C_1 X_1(t) + C_2 X_2(t),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

X(t)=C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}2\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{t}\begin{pmatrix}-2\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

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