Ex. 3 - (2,5 pontos) Mostre que qualquer função de duas variáveis da forma
f(t, x)=g(x+c t)+h(x-c t)
onde g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} são funções duas vezes diferenciáveis de uma variável e c>0 é constante, é solução da equação de onda f_{t t}-c^{2} f_{x x}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t,x)=g(x+ct)+h(x-ct),
onde g e h são funções de uma variável duas vezes diferenciáveis ( g,h\in C^2(\mathbb{R})) e c>0 é constante. A tarefa é mostrar que essa função satisfaz a equação de onda
f_{tt}-c^{2}f_{xx}=0
em todos os pontos (t,x)\in\mathbb{R}^2. Vou usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para deixar a notação mais clara, defino as duas combinações lineares das variáveis que aparecem dentro de g e h:
u := x+ct,\qquad v := x-ct.
Assim f(t,x)=g(u)+h(v). A ideia é calcular f_t, f_{tt}, f_x e f_{xx} usando a regra da cadeia e depois substituir na equação de onda.

Passo 3

Recordando a regra da cadeia: se G(s) é diferenciável e s=s(t,x), então a derivada parcial \partial_t (G(s(t,x))) vale G'(s)\cdot s_t. Aplicando isso a g(u) e h(v), primeiro calculo as derivadas de u e v:
u_t = \frac{\partial}{\partial t}(x+ct)=c,\qquad v_t = \frac{\partial}{\partial t}(x-ct)=-c.
Agora a derivada parcial de f em relação a t é
f_t = \frac{\partial}{\partial t}\big(g(u)+h(v)\big)=g'(u)\,u_t + h'(v)\,v_t = g'(u)\,c + h'(v)\,(-c).
Ou seja,
f_t = c\,g'(u) - c\,h'(v).

Passo 4

Derivo novamente em relação a t para obter f_{tt}. Uso de novo a regra da cadeia sobre g'(u) e h'(v), lembrando que u_t=c e v_t=-c:
f_{tt} = \frac{\partial}{\partial t}\big(c\,g'(u) - c\,h'(v)\big) = c\big(g''(u)\,u_t\big) - c\big(h''(v)\,v_t\big).
Substituindo u_t=c e v_t=-c
f_{tt} = c\big(g''(u)\,c\big) - c\big(h''(v)\,(-c)\big) = c^{2}g''(u) + c^{2}h''(v) = c^{2}\big(g''(u)+h''(v)\big).
(Aqui usamos que g e h são duas vezes diferenciáveis, então g'' e h'' existem.)

Passo 5

Agora calculo as derivadas parciais em relação a x. Primeiro as derivadas de u e v em relação a x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x+ct)=1,\qquad v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-ct)=1.
Aplicando a regra da cadeia:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(g(u)+h(v)\big)=g'(u)\,u_x + h'(v)\,v_x = g'(u)+h'(v).
Derivando novamente em x,
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(g'(u)+h'(v)\big)=g''(u)\,u_x + h''(v)\,v_x = g''(u)+h''(v).

Passo 6

Agora substituo f_{tt} e f_{xx} na equação de onda:
f_{tt}-c^{2}f_{xx} = c^{2}\big(g''(u)+h''(v)\big) - c^{2}\big(g''(u)+h''(v)\big) = 0.
Portanto para todo (t,x) a expressão f_{tt}-c^{2}f_{xx} é igual a zero, o que mostra que f é solução da equação de onda. Isso conclui a demonstração.

Resposta

A função \displaystyle f(t,x)=g(x+ct)+h(x-ct) satisfaz \displaystyle f_{tt}-c^{2}f_{xx}=0, logo é solução da equação de onda.

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