Ex. 3 - (2,5 pontos) Mostre que qualquer função de duas variáveis da forma
onde
são funções duas vezes diferenciáveis de uma variável e
é constante, é solução da equação de onda
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde
e
são funções de uma variável duas vezes diferenciáveis (
) e
é constante. A tarefa é mostrar que essa função satisfaz a equação de onda
em todos os pontos
. Vou usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Para deixar a notação mais clara, defino as duas combinações lineares das variáveis que aparecem dentro de
e
:
Assim
. A ideia é calcular
,
,
e
usando a regra da cadeia e depois substituir na equação de onda.
Passo 3
Recordando a regra da cadeia: se
é diferenciável e
, então a derivada parcial
vale
. Aplicando isso a
e
, primeiro calculo as derivadas de
e
:
Agora a derivada parcial de
em relação a
é
Ou seja,
Passo 4
Derivo novamente em relação a
para obter
. Uso de novo a regra da cadeia sobre
e
, lembrando que
e
:
Substituindo
e
dá
(Aqui usamos que
e
são duas vezes diferenciáveis, então
e
existem.)
Passo 5
Agora calculo as derivadas parciais em relação a
. Primeiro as derivadas de
e
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Derivando novamente em
,
Passo 6
Agora substituo
e
na equação de onda:
Portanto para todo
a expressão
é igual a zero, o que mostra que
é solução da equação de onda. Isso conclui a demonstração.
Resposta
A função
satisfaz
, logo é solução da equação de onda.