Ex. 7:
Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta
r: lx=4 y=3 e o ponto B(-3,2,1)

Passo 1

O enunciado dá a reta
ou seja, todos os pontos . O conteúdo é geometria analítica em : para achar a equação do plano basta obter dois vetores diretores do plano, calcular o vetor normal por produto vetorial e então usar a forma cartesiana .

Passo 2

Escolhemos um ponto A em r. Tomando z=0 em r, temos
A=(4,3,0)
O vetor diretor de r é paralelo ao eixo z, logo
v1=(0,0,1)
é um vetor diretor de r.

Passo 3

O vetor que liga A a B também está no plano. Calculamos
v2 = AB = B - A = (-3-4,;2-3,;1-0)=(-7,-1,1)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial v1times v2. Calculando
v1times v2 = i&j&k 0&0&1 -7&-1&1 =(1,-7,0)
Portanto podemos usar n=(1,-7,0).

Passo 5

A equação cartesiana do plano é
ncdot (X-A)=0
ou seja
(1,-7,0)cdot(x-4,y-3,z-0)=0
Isso dá
1,(x-4)-7,(y-3)+0,(z-0)=0
implies x -4 -7y +21 =0
implies x -7y +17 =0

Resposta

A equação do plano é
x - 7y + 17 = 0

Exercícios relacionados