Ex=Ey=Ez=hbar v(n+12)
Mostre que, por esta consideração, obtemos:
C=3 kb(beta hbar v)^2(e^beta hbar v(e^beta hbar v-1)^2)
Avalie a situação kb T gg hbar v. O que ela nos diz? Você também pode considerar avaliar a situação:
lim T infty C=?
Interprete os comportamentos com base no Princípio da Correspondência de Bohr.

Passo 1

Beleza, o enunciado é derivar o calor específico Ex=Ey=Ez=hbar vl(n+tfrac12r) de um sólido no modelo de Einstein, onde cada átomo é um oscilador harmônico quântico em 3 direções com níveis
Conteúdo da matéria: estatística de Boltzmann, função de partição, energia interna e calor específico. Vamos precisar usar
  • a definição de função de partição ,
  • a fórmula da energia interna ,
  • e relacionar ,
    além de avaliar o limite (ou ).

Passo 2

Primeiro, a função de partição de um oscilador 1D é
Z1=sumn=0^infty e^-betahbar v,(n+12) =e^-betahbar v/2sumn=0^inftyl(e^-betahbar vr)^n =e^-betahbar v/21-e^-betahbar v,,
onde .

Passo 3

A energia interna de um oscilador 1D vem de
U1=-partialpartialbetaln Z1 =-partialpartialbetal[-tfrac12betahbar v -ln(1-e^-betahbar v)r] =hbar v2+hbar ve^betahbar v-1
Como são 3 direções independentes,
U=3,U1 =3l[tfrachbar v2+hbar ve^betahbar v-1r]

Passo 4

O calor específico é
C=partial Upartial T =partial UpartialbetadbetadT =-kBbeta^2partial Upartialbeta
Fazendo a conta de derivada dá
C =3kB(betahbar v)^2;e^betahbar vl(e^betahbar v-1r)^2,

Passo 5

No caso e^betahbar v(e^betahbar v-1)^2 approx1+betahbar v(betahbar v)^2approx1(betahbar v)^2, temos Capprox3kB(betahbar v)^2cdot1(betahbar v)^2=3kB . Expandindo limTtoinftyC=3kB ,
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Em termos de limite:

Passo 6

Interpretação segundo Bohr: no limite (ou ) o comportamento quântico “suma” e recuperamos o resultado clássico de Dulong–Petit ( ), como pede o princípio de correspondência.

Resposta

O calor específico do modelo de Einstein é
boxedC=3,kB(betahbar v)^2,e^betahbar vl(e^betahbar v-1r)^2
No limite boxedlimTtoinftyC=3,kB, (ou ):
compatível com o Princípio da Correspondência de Bohr e o resultado clássico de Dulong–Petit.

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