Uma abordagem clássica para este problema, seria calcular a energia média por grau de liberdade, de acordo com a fórmula abaixo:
barE=integral0^infty E e^-Ek T d Eintegral0^infty e^-Ek T d E
onde E é a energia, k é a constante de Boltzmann, e T é a temperatura.
Essa integral pode ser facilmente resolvida. A integral do numerador é resolvida por partes, sendo que a do denominador, seu resultado é obtido diretamente, ao se fazer a mudança de variável y=-E /(k T). Assim, obtém-se para o numerador e denominador:
Numerador: (Integração por partes) integral u d v=u v-integral v d u, com u=E, logo d u=d E d v=e^-Ek T e v=-k T e^-Ek T.
integral0^infty E e^-Ek T d E=-E k T e^-Ek T|0 ^infty+k T integral0^infty e^-Ek T d E
Denominador: (Mudança de variável) y=-E /(k T)
integral0^infty e^-Ek T d E
(a) Calcule as integrais do numerador e denominador, qual será a relação encontrada entre barE e T ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma fórmula para calcular a energia média por grau de liberdade de um sistema, que depende da temperatura $ T $ e da constante de Boltzmann $ k $. A gente precisa resolver duas integrais, uma no numerador e outra no denominador, e depois ver como a energia média $ \bar{E} $ se relaciona com a temperatura $ T $. Para isso, vamos usar técnicas de integração por partes e mudança de variável.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral do numerador:
integral0^infty E e^-Ek T d E
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
  • $ u = E $ (porque ao derivar, fica mais simples)
  • $ dv = e^{\frac{-E}{k T}} dE $
Agora, calculamos $ du $ e $ v $:
  • $ du = dE $
  • Para encontrar $ v $, integramos $ dv $: u = E

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^infty E e^-Ek T d E = -E k T e^-Ek T |0^infty + k T integral0^infty e^-Ek T dE
Vamos analisar cada parte:
  1. Primeiro termo: $ \left. -E k T e^{\frac{-E}{k T}} \right|_{0}^{\infty} $
    • Quando $ E $ vai para $ \infty $, $ e^{\frac{-E}{k T}} $ tende a 0 mais rápido que $ E $ cresce, então o termo vira 0.
    • Quando $ E = 0 $, o termo também é 0.
    • Então, esse primeiro termo resulta em 0.
  2. Segundo termo: $ k T \int_{0}^{\infty} e^{\frac{-E}{k T}} dE $
Então, a integral do numerador simplifica para:
-E k T e^-Ek T |0^infty

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral do denominador:
integral0^infty e^-Ek T d E
Aqui, usamos a mudança de variável para facilitar a integração. Vamos definir:
y = Ek T Rightarrow E = y k T Rightarrow dE = k T dy
Substituindo na integral:
integral0^infty e^-y cdot k T dy = k T integral0^infty e^-y dy
Sabemos que:
integral0^infty e^-y dy = 1
Então, a integral do denominador é:
k T cdot 1 = k T

Passo 5

Voltando à integral do numerador que ficou:
k T integral0^infty e^-Ek T dE = k T cdot k T = (k T)^2
Mas na verdade, havia um $ k T $ fora da integral, e a integral do numerador após a integração por partes é:
k T

Passo 6

Agora, substituímos os resultados das integrais no cálculo da energia média $ \bar{E} $:
barE

Resposta

A energia média por grau de liberdade $ \bar{E} $ está diretamente proporcional à temperatura $ T $, ou seja:
barE

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