(Ex 2,III.5, pg147) Calcular os volumes dos sólidos S limitados pelas superfícies a seguir. Desenhe os sólidos.
b) z=x^{2}+y^{2}, z=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado pelas superfícies z = x^{2} + y^{2} e z = 3. O conteúdo principal é integração dupla para cálculo de volume, e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Projetamos S no plano xy. A projeção é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2} + y^{2} \le 3\}.

Passo 3

Em geral, o volume é
V = \iint_{D}\bigl(\text{cota superior} - \text{cota inferior}\bigr)\,dA = \iint_{D}\bigl(3 - (x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA.
Em coordenadas polares, x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta, com
0 \le r \le \sqrt{3}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}}(3 - r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{\sqrt{3}}(3r - r^{3})\,dr = \biggl[\frac{3r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4}\biggr]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{9}{4}\,d\theta = \frac{9}{4}\cdot 2\pi = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é
\frac{9\pi}{2}.
O sólido é um paraboloide z = x^{2}+y^{2} truncado pelo plano z = 3, cuja seção na altura z=3 é um disco de raio \sqrt{3}.

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