Usando a definição de integral dupla, mostre porque é razoável definir o ponto
como o centro de massa de uma região
com área, e com densidade de massa dada por
, sendo
Passo 1
O enunciado pede para justificar, a partir da definição de integral dupla como limite de somas de Riemann, a fórmula do centro de massa
O que vamos usar é a interpretação física de massa e momento de um corpo em duas dimensões e o fato de que a integral dupla é o limite de somas de áreas multiplicadas por valores de função.
Passo 2
Particionamos a região
em
sub-regiões
de área aproximada
. Em cada
escolhemos um ponto de amostragem
. Como a densidade de massa é
, a massa aproximada em
vale
Logo, a massa total aproximada é
Passo 3
Na definição discreta de centro de massa em
, usamos o momento estático em
, que é a soma das massas vezes sua coordenada
. Assim,
Analogamente,
Passo 4
Ao refinar a partição
, máximas
, as somas de Riemann convergem para integrais duplas. Portanto,
e o mesmo vale para o momento em
. Daí decorrem as fórmulas desejadas para
e
.