Usando a definição de integral dupla, mostre porque é razoável definir o ponto (\bar{x}, \bar{y}) como o centro de massa de uma região D \subset \mathbb{R}^{2}, D com área, e com densidade de massa dada por \partial=\partial(x, y), sendo
\bar{x}=\frac{\iint_{D} x . \partial(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\iint_{D} \partial(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y} \quad \text { e } \quad \bar{y}=\frac{\iint_{D} y . \partial(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\iint_{D} \partial(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y} .

Passo 1

O enunciado pede para justificar, a partir da definição de integral dupla como limite de somas de Riemann, a fórmula do centro de massa
\bar{x}=\frac{\iint_{D}x\,\partial(x,y)\,dx\,dy}{\iint_{D}\partial(x,y)\,dx\,dy}, \quad \bar{y}=\frac{\iint_{D}y\,\partial(x,y)\,dx\,dy}{\iint_{D}\partial(x,y)\,dx\,dy}.
O que vamos usar é a interpretação física de massa e momento de um corpo em duas dimensões e o fato de que a integral dupla é o limite de somas de áreas multiplicadas por valores de função.

Passo 2

Particionamos a região D em N sub-regiões D_i de área aproximada \Delta A_i. Em cada D_i escolhemos um ponto de amostragem (x_i,y_i). Como a densidade de massa é \partial(x,y), a massa aproximada em D_i vale
m_i \approx \partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i.
Logo, a massa total aproximada é
M_N = \sum_{i=1}^{N}m_i = \sum_{i=1}^{N}\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i.

Passo 3

Na definição discreta de centro de massa em x, usamos o momento estático em x, que é a soma das massas vezes sua coordenada x_i. Assim,
\bar{x}_N = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i\,m_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i\,\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i}{\sum_{i=1}^{N}\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i}.
Analogamente,
\bar{y}_N = \frac{\sum_{i=1}^{N} y_i\,\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i}{\sum_{i=1}^{N}\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i}.

Passo 4

Ao refinar a partição N\to\infty, máximas \Delta A_i\to0, as somas de Riemann convergem para integrais duplas. Portanto,
\lim_{N\to\infty}M_N =\iint_{D}\partial(x,y)\,dx\,dy, \quad \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N x_i\,\partial(x_i,y_i)\,\Delta A_i =\iint_{D}x\,\partial(x,y)\,dx\,dy,
e o mesmo vale para o momento em y. Daí decorrem as fórmulas desejadas para \bar{x} e \bar{y}.

Resposta

\bar{x}=\frac{\displaystyle\iint_{D}x\,\partial(x,y)\,dx\,dy}{\displaystyle\iint_{D}\partial(x,y)\,dx\,dy}, \quad \bar{y}=\frac{\displaystyle\iint_{D}y\,\partial(x,y)\,dx\,dy}{\displaystyle\iint_{D}\partial(x,y)\,dx\,dy}.

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