Ex.: 1. Obtenha \theta tal que \operatorname{tg}\left(\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)\right)

Passo 1

O problema pede calcular o valor de \theta definido por \operatorname{tg}\!\big(\operatorname{arcsen}\!\big(\tfrac{1}{2}\big)\big).
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \operatorname{tg}\!\big(\operatorname{arcsen}\!\big(\tfrac{1}{2}\big)\big).
  • Não há outros dados; presume-se que se usa a definição usual de \operatorname{arcsen} (rango principal).

Passo 2

Defino uma letra para o ângulo interno para ficar claro. Seja
\alpha = \operatorname{arcsen}\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
Por definição de \operatorname{arcsen}, isto significa que
\sin\alpha = \tfrac{1}{2},
e que \alpha está no intervalo principal -\tfrac{\pi}{2}\le \alpha\le \tfrac{\pi}{2} (ou seja, \alpha é um ângulo agudo ou nulo/obtuso negativo, mas neste caso concreto é agudo porque \sin\alpha>0).

Passo 3

Vou usar a identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1.
Nessa identidade, \sin\alpha é o seno do ângulo \alpha e \cos\alpha é o cosseno do ângulo \alpha. Substituindo \sin\alpha=\tfrac{1}{2} obtemos
\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha = 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.
Como \alpha está em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], o cosseno é não negativo nesse intervalo, logo
\cos\alpha = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora uso a definição de tangente em termos de seno e cosseno:
\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
Substituindo os valores que achamos,
\operatorname{tg}\alpha = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}.
Ao dividir uma fração por outra, os denominadores \tfrac{1}{2} cancelam, portanto
\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Se preferir escrever sem radical no denominador (racionalizar), multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
Também é útil notar, como check rápido, que \alpha=\operatorname{arcsen}(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ) e \operatorname{tg}(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, consistente com o resultado.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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