Ex.7. Projete um circuito lógico para o controle de uma sirene de fábrica que indica o fim de expediente quando ocorrer uma OU outra das seguintes condições:
  • já passou das cinco horas E todas as máquinas estão desligadas;
  • é sexta-feira E a produção do dia foi atingida E todas as máquinas estão desligadas.

Passo 1

O enunciado pede projetar um circuito lógico que aciona uma sirene quando ocorrer uma OU outra das duas condições a seguir:
  • já passou das cinco horas E todas as máquinas estão desligadas;
  • é sexta-feira E a produção do dia foi atingida E todas as máquinas estão desligadas.
Informações dadas (isto é tudo o que o circuito deve usar):
  • Há quatro sinais de entrada (cada um é um sinal booleano, “1” = condição verdadeira, “0” = condição falsa).
  • A sirene deve acionar quando pelo menos uma das duas condições acima for verdadeira.
    O que o enunciado pede explicitamente:
  • Um circuito lógico (expressão booleana e descrição de como ligar portas) que implemente esse comportamento da sirene.

Passo 2

Definir variáveis lógicas e traduzir cada frase para uma expressão booleana (passo fundamental — transformar linguagem natural em lógica):
  • Seja H o sinal que vale 1 se “já passou das cinco horas” (caso contrário 0).
  • Seja M o sinal que vale 1 se “todas as máquinas estão desligadas” (caso contrário 0).
  • Seja F o sinal que vale 1 se “é sexta-feira” (caso contrário 0).
  • Seja P o sinal que vale 1 se “a produção do dia foi atingida” (caso contrário 0).
  • Seja S a saída que aciona a sirene ( S=1 = sirene ligada).
Agora traduzimos as condições com as operações lógicas básicas:
  • A operação “E” corresponde ao operador lógico AND, denotado por \land. Ex.: X E Y vira X \land Y.
  • A operação “OU” corresponde ao operador lógico OR, denotado por \lor. Ex.: X OU Y vira X \lor Y.
Tradução das condições:
  • Condição 1 (já passou das cinco E todas as máquinas desligadas): \,H \land M.
  • Condição 2 (sexta-feira E produção atingida E todas as máquinas desligadas): \,F \land P \land M.
O enunciado pede “quando ocorrer uma OU outra das seguintes condições”, logo a saída S é a disjunção (OR) dessas duas condições:
S = (H \land M)\\ \lor\\ (F \land P \land M).

Passo 3

Simplificar a expressão para reduzir portas e deixar a implementação mais direta:
Partimos de
S = (H \land M)\\ \lor\\ (F \land P \land M).
Observa-se que M aparece em ambos os termos; podemos fatorar M (regra distributiva inversa: (A\land C)\lor(B\land C) = (A\lor B)\land C):
S = \bigl(H \land M\bigr)\\ \lor\\ \bigl(F \land P \land M\bigr) = \bigl(H \lor (F \land P)\bigr)\\ \land\\ M.
Para escrever de forma clara:
S = M \land \bigl(H \lor (F \land P)\bigr).
Explicação didática da lei usada:
  • A distributiva em álgebra booleana permite “fatorar” um termo comum. Aqui foi usado exatamente como em álgebra normal: tirar M como fator comum reduz repetições e normalmente diminui o número de portas físicas.

Passo 4

Escolha prática de implementação (por que escolher esta forma):
  • A forma fatorada \,S = M \land (H \lor (F \land P)) é vantajosa porque reduz a necessidade de uma porta AND de 3 entradas quando só se tem portas de 2 entradas — isto permite implementar com menos portas 2-entrada.
  • Implementação sugerida passo a passo (muito direta e fácil de desenhar em prova):
    1. Calcular A = F \land P (uma porta AND de 2 entradas).
    2. Calcular B = H \lor A (uma porta OR de 2 entradas).
    3. Calcular S = M \land B (uma porta AND de 2 entradas).
  • Contagem de portas na implementação sugerida: duas portas AND (uma para F\land P e outra para M\land B) e uma porta OR (para H\lor A). Total: 3 portas de 2 entradas.
  • Alternativa direta (forma soma de produtos): implementar (H\land M) e (F\land P\land M) e depois OR-las. Se só houver ANDs de 2 entradas isso exige um AND extra (para montar a terceira entrada), resultando em mais portas. Por isso a forma fatorada normalmente é a mais econômica.

Passo 5

Descrição clara de como ligar (procedimento para desenhar o circuito):
  • Entradas: linhas para H, F, P, M.
  • Ligue F e P a uma porta AND; saída dessa porta chama-se A.
  • Ligue H e A a uma porta OR; saída dessa porta chama-se B.
  • Ligue M e B a uma porta AND; saída dessa porta é S (aciona a sirene).
    Isto corresponde exatamente à expressão \;S = M \land \bigl(H \lor (F \land P)\bigr).

Passo 6

Verificação rápida com alguns exemplos (aprender testando — bom para a prova):
  • Caso: M=1, H=1 (qualquer F,P). Aqui H\lor(F\land P)=1, então S=1\land1=1 → sirene toca (como esperado: já passou das cinco E máquinas desligadas).
  • Caso: M=1, H=0, F=1, P=1. Aqui F\land P=1, então H\lor(...) =1, e S=1 → sirene toca (sexta e produção atingida E máquinas desligadas).
  • Caso: M=0 (máquinas ligadas), qualquer H,F,P. Então S=0 → sirene não toca (exigência comum: todas as máquinas devem estar desligadas).
    Esses testes confirmam que a expressão implementa corretamente o enunciado.

Resposta

S = M \land \bigl(H \lor (F \land P)\bigr)
Implementação prática: calcular A = F \land P, B = H \lor A, e S = M \land B.

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