Use o mapa de Karnaugh para simplificar as expressões abaixo com entradas A, B, C e D. Implemente os resultados usando somente os circuitos integrados (CIs) indicados.
X=\prod(0,1,2,7,8,9,10,11,14,15), 74 \mathrm{HC} 02.

Passo 1

O enunciado dá a função booleana dos quatro sinais de entrada A,B,C,D na forma de produto de maxtermos:
X=\prod(0,1,2,7,8,9,10,11,14,15).
Também informa que a implementação deve usar somente o CI indicado: 74\mathrm{HC}02 (ou seja, somente portas NOR de 2 entradas).\n
O que o enunciado pede:
  • Simplificar X usando mapa de Karnaugh (K-map) para A,B,C,D.
  • Mostrar como implementar o resultado usando apenas portas NOR (CI 74\mathrm{HC}02).
Informações úteis já dadas:
  • A lista de maxtermos significa que X=0 para os mintermos 0,1,2,7,8,9,10,11,14,15.
  • Logo X=1 para os mintermos restantes (complemento): \{3,4,5,6,12,13\}.

Passo 2

Primeiro transformamos a escrita por maxtermos em soma de mintermos (mais confortável para K‑map). Como identifiquei no passo anterior,
X=\Sigma(3,4,5,6,12,13).
Vou montar mentalmente o K‑map 4×4 com as convenções usuais: linhas para (A,B) em ordem Gray 00,01,11,10 e colunas para (C,D) em ordem Gray 00,01,11,10. Agora preencho 1 nas células correspondentes aos mintermos listados:
  • minterm 3: (A,B,C,D)=(0,0,1,1) → célula (00,11)
  • minterm 4: (0,1,0,0) → célula (01,00)
  • minterm 5: (0,1,0,1) → célula (01,01)
  • minterm 6: (0,1,1,0) → célula (01,10)
  • minterm 12: (1,1,0,0) → célula (11,00)
  • minterm 13: (1,1,0,1) → célula (11,01)
(Se você desenhar o K‑map com as coordenadas indicadas, verá exatamente essas seis células marcadas com 1.)

Passo 3

Agora faço as agrupações possíveis no K‑map (lembre: grupos de 1,2,4,8 células em potências de 2; preferir grupos maiores e cobrir todos os 1s com o mínimo de implicantes essenciais).
Observando as posições:
  • Há um bloco de 4 células formado por (01,00),(01,01),(11,00),(11,01). Essas quatro células têm B=1 (porque linhas 01 e 11 têm B=1) e têm C=0 (porque colunas 00 e 01 têm C=0). Então esse grupo simplifica para a expressão
B\cdot C'.
Explicando como cheguei nisso: em um grupo todas as variáveis que mudam são eliminadas; aqui A muda (0 e 1) e D muda (colunas 00 e 01 têm D 0 e 1), permanecem B=1 e C=0, logo o produto dá B C'.
  • Depois de tirar esse bloco de 4, restam 2 células com 1 não cobertas pelo termo anterior: minterm 3 (célula isolada em (00,11)) e minterm 6 (célula em (01,10)). Vou tratá‑las:
    • A célula (00,11) (minterm 3) não tem nenhuma vizinha 1 com quem formar par; ela fica como um implicante indispensável (singleton). O minterm 3 corresponde ao produto de literais (porque 3=0011):
    \text{minterm }3 = A' B' C D.
    • A célula (01,10) (minterm 6) pode formar par com a célula (01,00) (minterm 4) através do empacotamento circular entre as colunas 10 e 00; estas duas células estão na mesma linha 01 (logo A=0,B=1 fixos) e têm D=0 comum (colunas 10 e 00 têm D=0), enquanto C muda. Assim esse par simplifica para
    A' B D'.Observação: a célula 4 já foi coberta pelo grande bloco B C', mas isso é permitido — sobreposição é aceitável para reduzir o total de termos. O importante é que o minterm 6 está coberto por A' B D'.

Passo 4

Juntando os implicantes essenciais e necessários, a expressão simplificada mínima (obtida pelo K‑map) é
X = B C' + A' B D' + A' B' C D.
Vou explicar cada termo em palavras:
  • B C' cobre os mintermos 4,5,12,13.
  • A' B D' cobre os mintermos 4 e 6 (aqui cobre 6 que não está em B C').
  • A' B' C D é o singleton que cobre o minterm 3.
Confirmei que todos os mintermos \{3,4,5,6,12,13\} ficam cobertos por esses três termos; portanto essa soma de produtos é correta e mínima segundo o mapa.

Passo 5

Agora vou ensinar como implementar essa expressão usando somente portas NOR ( 74\mathrm{HC}02). Primeiro, lembretes práticos sobre portas NOR:
  • NOR é uma porta universal: dá para obter NOT, AND e OR usando apenas NORs.
  • Notação útil (porta NOR de duas entradas): \mathrm{NOR}(X,Y)=\overline{X+Y}.
Padrões úteis (todos implementáveis com NOR de 2 entradas):
  • Negação (NOT): \overline{X} = \mathrm{NOR}(X,X).
  • AND: X\cdot Y = \mathrm{NOR}\big(\mathrm{NOR}(X,X),\,\mathrm{NOR}(Y,Y)\big). (Porque isso é \overline{\overline X +\overline Y} = X\cdot Y.)
  • OR: X+Y = \mathrm{NOR}\big(\mathrm{NOR}(X,Y),\,\mathrm{NOR}(X,Y)\big). (Inverte a saída do NOR.)
Vou descrever uma implementação direta, reusando inversões quando conveniente (evita portas extras). Passo a passo (cada item é uma porta NOR de 2 entradas):
  1. Gere inversões básicas (cada inversão usa uma NOR com entradas amarradas):
B'=\mathrm{NOR}(B,B),\quad C'=\mathrm{NOR}(C,C),\quad D'=\mathrm{NOR}(D,D).
(Nota: não precisei calcular A' diretamente porque, para o termo A'B' abaixo, há uma forma direta.)
  1. Obtenha o termo B C':
BC' = \mathrm{NOR}\big(B',\,C\big).
Explicação: \mathrm{NOR}(B',C)=\overline{B'+C} = B\cdot C'.
  1. Obtenha o termo A' B D':
  • Primeiro faça A'B. Use a identificação direta \mathrm{NOR}(A,B')=\overline{A + B'} = A'\cdot B. Então
T_1 = \mathrm{NOR}(A,\,B').
  • Depois para obter T_1\cdot D' use a identidade X\cdot Y = \mathrm{NOR}(X',Y'). Aqui X=T_1 e Y=D'. Observe Y'=(D')'=D. Então
T_1'=\mathrm{NOR}(T_1,T_1),\quad (A'B D') = \mathrm{NOR}(T_1',\,D).
Isso produz exatamente A' B D'.
  1. Obtenha o termo A'B' C D:
  • Primeiro A'B' pode ser obtido de maneira elegante sem calcular A' explicitamente: note que \mathrm{NOR}(A,B)=\overline{A+B}=A'\cdot B'. Então
Z_1=\mathrm{NOR}(A,B)\quad(\text{isto é }A'B').é
  • Agora gere A'B' \cdot C: calcule Z_1'=\mathrm{NOR}(Z_1,Z_1) e então
Z_2=\mathrm{NOR}(Z_1',\,C').
Isto dá Z_2 = A'B'\cdot C.
  • Finalmente combine com D (novamente usando a técnica X\cdot Y=\mathrm{NOR}(X',Y')):
Z_2'=\mathrm{NOR}(Z_2,Z_2),\quad (A'B' C D)=\mathrm{NOR}(Z_2',\,D').
  1. Faça a soma (OR) dos três termos BC', A'B D' e A'B' C D. Com NORs de 2 entradas para três sinais a receita é encadear ORs:
  • Primeiro OR de dois termos (por exemplo BC' e A'B D'):
S=\mathrm{NOR}(BC',\,A'B D'),\quad OR_{12}=\mathrm{NOR}(S,S)\quad(\text{isto é }BC' + A'B D').é
  • Depois OR final com o terceiro termo:
T=\mathrm{NOR}(OR_{12},\,A'B' C D),\quad X=\mathrm{NOR}(T,T).
Agora X é a saída desejada.
  1. Contagem aproximada de portas e chips:
  • A construção acima usa, contando cada NOR de 2 entradas: inversões e nós intermediários, cerca de 17 portas NOR no total (dependendo de pequenas otimizações pode cair um pouco). O CI 74\mathrm{HC}02 contém 4 portas NOR de 2 entradas por chip, então serão necessários \lceil 17/4\rceil=5 chips 74\mathrm{HC}02 para implementar sem otimizações de reutilização física de portas.
Se quiser, eu posso desenhar o diagrama com todas as portas numeradas (netlist) e mostrar como ligar as saídas de cada porta às entradas das outras, indicando em quais pinos de cada CI 74\mathrm{HC}02 ligar — passo a passo, prático para montar no protoboard. Dá vontade de brincar com portas NOR; é como Lego lógico!

Resposta

X = B\,C' + A'\,B\,D' + A'\,B'\,C\,D
Implementação: usar somente portas NOR ( 74\mathrm{HC}02) conforme o procedimento descrito (NOT via \mathrm{NOR}(X,X), AND/OR via combinações de NOR mostradas); estimativa: 17 portas NOR (≈5 chips 74HC02).

Exercícios relacionados