Ex 2 Um sinal analógico
foi coletado a
. Desenhe o espectro aparente do sinal coletado
entre 0 e 300 Hz .
Dicas:
1-) Lembre-se de que as transformadas de Fourier de
e
são zero em todas as frequências, exceto em
:
2-) Note que existem três parcelas em
: o termo 1 e dois cossenos. Pela propriedade da linearidade da transformada de Fourier, a transformada de Fourier de
será a soma das transformadas destes três termos. Precisaremos então determinar a transformada de Fourier de uma função do tipo
, onde
é uma constante. Como é a transformada de Fourier de uma função constante? É mais simples do que parece. Não precisamos de integrais, basta esperteza: Note que a função
pode ser considerada uma função cosseno com frequência zero
. Basta então transformar as equações na dica 1 para frequência zero. =D
Dicas:
1-) Lembre-se de que as transformadas de Fourier de
Passo 1
O enunciado dá o sinal analógico
amostrado com taxa
. O que pede: desenhar (ou descrever) o espectro aparente do sinal amostrado
no intervalo de frequências entre
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Termos do sinal:
- componente contínua (DC) de amplitude
, - cosseno em
com amplitude , - cosseno em
com amplitude .
- componente contínua (DC) de amplitude
- Taxa de amostragem:
, portanto . - Queremos a representação do espectro entre
e do sinal amostrado.
Passo 2
Transformada dos termos (na convenção de frequência em Hz,
):
- Uma constante
tem transformada . - Um cosseno
tem transformada .
Aplicando isso a
:
- termo DC:
com peso ; - termo
: gera impulsos em com peso em cada um; - termo
: gera impulsos em com peso em cada um.
Portanto o espectro original
(somente linhas) é
Passo 3
Efeito da amostragem por impulsos (ideal): multiplicar
por
produz réplicas periódicas do espectro. A relação é
Aqui
e
. Logo cada impulso do
aparece repetido em
com ganho multiplicativo
.
Passo 4
Vamos listar todas as réplicas dos impulsos de
que caem no intervalo
.
Os impulsos originais estão em
com pesos
conforme acima.
Para cada
e cada inteiro
consideramos
e verificamos se
.
- A partir de
: -
(está em ); -
(limite superior, incluir se for considerado o intervalo fechado).
-
- A partir de
: -
. - Outros
dão fora de .
-
- A partir de
: -
.
-
- A partir de
: -
.
-
- A partir de
: -
.
-
Assim as frequências dentro de
vindas de réplicas são:
Observação intuitiva: os impulsos de frequência negativa podem “aliar” para frequências positivas quando somados a
(essas são as réplicas).
Passo 5
Agora calcule os pesos (amplitudes) finais em
. Cada impulso original de peso
dá réplicas com peso
multiplicado por
.
Pesos originais e réplicas relevantes:
- DC: original em
peso . - réplica em
: peso . - réplica em
: peso .
- réplica em
-
: original em peso . - réplica em
: peso .
- réplica em
-
: original em peso . - réplica com
em : peso .
- réplica com
-
: original em peso . - réplica em
: peso .
- réplica em
-
: original em peso . - réplica com
em : peso .
- réplica com
Portanto, no espectro amostrado
entre
e
aparecem impulsos nos seis pontos achados, com os pesos calculados.
Passo 6
Interpretação prática para desenhar o espectro aparente (dois toques práticos):
- Traçar impulsos (delta) em
. - As alturas (mais precisamente, os coeficientes das deltas) são
respectivamente. - Esses picos são o que um analisador de espectro veria no intervalo
– após amostragem ideal: notem que os componentes originais em e coexistem com componentes aliased vindos de e , respectivamente (por isso aparecem em e ).