Ex 2 Um sinal analógico x(t)=1+0.5 \cos (2 \pi 70 t)+ \cos (2 \pi 200 t) foi coletado a f_{s}=300 \mathrm{~Hz}. Desenhe o espectro aparente do sinal coletado x_{s}(t) entre 0 e 300 Hz .
Dicas:
1-) Lembre-se de que as transformadas de Fourier de \cos (A x) e \sin (A x) são zero em todas as frequências, exceto em \omega= \pm A :
\begin{array}{r} \mathcal{F}\{\cos (A t)\}=\pi(\delta(\omega+A)+\delta(\omega-A)) \\\ \mathcal{F}\{\sin (A t)\}=\pi j(\delta(\omega+A)-\delta(\omega-A)) \end{array}
2-) Note que existem três parcelas em x(t) : o termo 1 e dois cossenos. Pela propriedade da linearidade da transformada de Fourier, a transformada de Fourier de x(t) será a soma das transformadas destes três termos. Precisaremos então determinar a transformada de Fourier de uma função do tipo g(t)=C, onde C é uma constante. Como é a transformada de Fourier de uma função constante? É mais simples do que parece. Não precisamos de integrais, basta esperteza: Note que a função g(t)=C pode ser considerada uma função cosseno com frequência zero g(t)=C . \cos (0 . t). Basta então transformar as equações na dica 1 para frequência zero. =D

Passo 1

O enunciado dá o sinal analógico
x(t)=1+0{,}5\cos(2\pi 70 t)+\cos(2\pi 200 t)
amostrado com taxa f_s=300\\ \mathrm{Hz}. O que pede: desenhar (ou descrever) o espectro aparente do sinal amostrado x_s(t) no intervalo de frequências entre 0 e 300\\ \mathrm{Hz}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Termos do sinal:
    • componente contínua (DC) de amplitude 1,
    • cosseno em 70\\ \mathrm{Hz} com amplitude 0{,}5,
    • cosseno em 200\\ \mathrm{Hz} com amplitude 1.
  • Taxa de amostragem: f_s=300\\ \mathrm{Hz}, portanto T_s=\dfrac{1}{f_s}=\dfrac{1}{300}\\ \mathrm{s}.
  • Queremos a representação do espectro entre 0 e 300\\ \mathrm{Hz} do sinal amostrado.

Passo 2

Transformada dos termos (na convenção de frequência em Hz, X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi f t}dt):
  • Uma constante 1 tem transformada \delta(f).
  • Um cosseno A\cos(2\pi f_0 t) tem transformada \dfrac{A}{2}\bigl[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigr].
Aplicando isso a x(t):
  • termo DC: \delta(f) com peso 1;
  • termo 0{,}5\cos(2\pi70t): gera impulsos em f=\pm70 com peso \dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25 em cada um;
  • termo \cos(2\pi200t): gera impulsos em f=\pm200 com peso \dfrac{1}{2}=0{,}5 em cada um.
Portanto o espectro original X(f) (somente linhas) é
X(f)=1\cdot\delta(f)+0{,}25\bigl[\delta(f-70)+\delta(f+70)\bigr]+0{,}5\bigl[\delta(f-200)+\delta(f+200)\bigr].

Passo 3

Efeito da amostragem por impulsos (ideal): multiplicar x(t) por \sum_n\delta(t-nT_s) produz réplicas periódicas do espectro. A relação é
X_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-kf_s).
Aqui T_s=\dfrac{1}{300} e \dfrac{1}{T_s}=f_s=300. Logo cada impulso do X(f) aparece repetido em f-kf_s com ganho multiplicativo 300.

Passo 4

Vamos listar todas as réplicas dos impulsos de X(f) que caem no intervalo [0,300]\\ \mathrm{Hz}.
Os impulsos originais estão em f\in\{0,\pm70,\pm200\} com pesos \{1,\,0{,}25,\,0{,}5\} conforme acima.
Para cada f_0\in\{0,\pm70,\pm200\} e cada inteiro k consideramos f=f_0+k\cdot300 e verificamos se f\in[0,300].
  • A partir de f_0=0:
    • k=0\Rightarrow f=0 (está em [0,300]);
    • k=1\Rightarrow f=300 (limite superior, incluir se for considerado o intervalo fechado).
  • A partir de f_0=70:
    • k=0\Rightarrow f=70.
    • Outros k dão f fora de [0,300].
  • A partir de f_0=-70:
    • k=1\Rightarrow f=-70+300=230.
  • A partir de f_0=200:
    • k=0\Rightarrow f=200.
  • A partir de f_0=-200:
    • k=1\Rightarrow f=-200+300=100.
Assim as frequências dentro de [0,300] vindas de réplicas são:
f\in\{0,\;70,\;100,\;200,\;230,\;300\}.
Observação intuitiva: os impulsos de frequência negativa podem “aliar” para frequências positivas quando somados a +300\\ \mathrm{Hz} (essas são as réplicas).

Passo 5

Agora calcule os pesos (amplitudes) finais em X_s(f). Cada impulso original de peso A dá réplicas com peso A multiplicado por 1/T_s=300.
Pesos originais e réplicas relevantes:
  • DC: original em f=0 peso 1.
    • réplica em f=0: peso 1\cdot300=300.
    • réplica em f=300: peso 1\cdot300=300.
  • f_0=70: original em f=70 peso 0{,}25.
    • réplica em f=70: peso 0{,}25\cdot300=75.
  • f_0=-70: original em f=-70 peso 0{,}25.
    • réplica com k=1 em f=230: peso 0{,}25\cdot300=75.
  • f_0=200: original em f=200 peso 0{,}5.
    • réplica em f=200: peso 0{,}5\cdot300=150.
  • f_0=-200: original em f=-200 peso 0{,}5.
    • réplica com k=1 em f=100: peso 0{,}5\cdot300=150.
Portanto, no espectro amostrado X_s(f) entre 0 e 300\\ \mathrm{Hz} aparecem impulsos nos seis pontos achados, com os pesos calculados.

Passo 6

Interpretação prática para desenhar o espectro aparente (dois toques práticos):
  • Traçar impulsos (delta) em f=0,70,100,200,230,300\\ \mathrm{Hz}.
  • As alturas (mais precisamente, os coeficientes das deltas) são 300,75,150,150,75,300 respectivamente.
  • Esses picos são o que um analisador de espectro veria no intervalo 0 300\\ \mathrm{Hz} após amostragem ideal: notem que os componentes originais em 200 e 70 coexistem com componentes aliased vindos de -200 e -70, respectivamente (por isso aparecem em 100 e 230).

Resposta

f=0\\ \mathrm{Hz}:\\\ 300
f=70\\ \mathrm{Hz}:\\\ 75
f=100\\ \mathrm{Hz}:\\\ 150
f=200\\ \mathrm{Hz}:\\\ 150
f=230\\ \mathrm{Hz}:\\\ 75
f=300\\ \mathrm{Hz}:\\\ 300

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