Ex 3 Um equipamento eletrônico gera ruído eletromagnético a 9330 Hz , que interfere em um sistema de aquisição. Por descuido do engenheiro responsável, não foram tomadas providências para eliminar esta interferência e não foi utilizado um filtro anti-aliasing. Sabendo que a coleta de dados foi realizada a f_{s}=210 \mathrm{~Hz}, determine a(s) frequência(s) no espectro de X_{s}(\omega) (no
intervalo entre -f_{s} / 2 e f_{s} / 2 ) que serão corrompidas por ruído proveniente do equipamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Ruído em frequência f_0 = 9330\\ \mathrm{Hz}.
    • Taxa de amostragem f_s = 210\\ \mathrm{Hz}.
  • O enunciado pede: determinar as(s) frequência(s) no espectro amostrado X_s(\omega) — no intervalo entre -f_s/2 e f_s/2 — que serão corrompidas por esse ruído (ou seja, a(s) frequência(s) aliased que caem no intervalo base [-f_s/2,\,f_s/2]).

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma simples): amostrar um sinal faz com que seu espectro no domínio da frequência se repita periodicamente com período f_s. Assim, uma componente em frequência contínua f_0 aparece, após amostragem, como cópias em
f_0 \pm k f_s,\quad k\in\mathbb{Z}.
As cópias que caem no intervalo base (também chamado de banda de Nyquist) -f_s/2\le f \le f_s/2 são as que “corrompem” o espectro observado. Na prática, para encontrar o alias de f_0 dentro desse intervalo, usamos a fórmula de remoção de múltiplos de f_s:
f_a = f_0 - k f_s,
escolhendo k inteiro tal que f_a\in\left[-\dfrac{f_s}{2},\dfrac{f_s}{2}\right].

Passo 3

Calcular f_s/2 (limite da banda-base):
\dfrac{f_s}{2}=\dfrac{210}{2}=105\\ \mathrm{Hz}.
Portanto o intervalo principal é -105\\ \mathrm{Hz} a 105\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Encontrar k e o alias usando divisão inteira.
Dividindo f_0 por f_s:
\frac{f_0}{f_s}=\frac{9330}{210}=44+\frac{90}{210}=44{,}42857\ldots
Isto significa que 210\cdot 44 = 9240 e sobram
f_0-44 f_s = 9330-9240 = 90\\ \mathrm{Hz}.
Tomando k=44 obtemos
f_a = f_0 - 44 f_s = 90\\ \mathrm{Hz},
que está dentro do intervalo [-105,\;105]. Logo a componente em 9330\\ \mathrm{Hz} aliás para 90\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Comentário sobre sinais reais / simetria: se o sinal for real (caso mais comum em aquisição), o espectro é conjugado-simétrico, então além de +90\\ \mathrm{Hz} também aparecerá a componente em -90\\ \mathrm{Hz}. Assim, no espectro amostrado X_s(\omega) dentro de [-f_s/2,f_s/2] as frequências corrompidas pelo ruído serão 90\\ \mathrm{Hz} e -90\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Dica prática para a prova (passos rápidos que dá para fazer sem calculadora avançada):
  • Divida f_0 por f_s (ou faça múltiplos de f_s até chegar próximo de f_0) para achar o resto.
  • O resto positivo menor que f_s é o alias f_a. Se esse f_a>f_s/2, subtrai-se f_s para colocá-lo no intervalo [-f_s/2,f_s/2].
  • Não esqueça do simétrico negativo se o sinal for real.

Resposta

90\\ \mathrm{Hz}
-90\\ \mathrm{Hz}

Exercícios relacionados