ex 1 : O subconjunto
,
de
é um conjunto gerador de
Passo 1
O enunciado pergunta se o subconjunto
de
é um conjunto gerador de
.
Informações dadas (os vetores de ):
Informações dadas (os vetores de
O que é pedido: decidir se todo vetor arbitrário
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
(isto é, se
).
Passo 2
Lembrete prático (definição que vamos usar): dizer que
gera
significa que para qualquer vetor
existem escalares reais que permitem escrever
Na prova escrita de prova/colégio é mais econômico tentar escrever
como combinação linear de três vetores de
(se três deles forem tais que qualquer
seja combinação, já está provado). Vou escolher três vetores de
que deixam o sistema simples de resolver:
,
e
. A escolha é só para simplificar contas — se der para escrever um vetor arbitrário com esses três, então
gera
.
Passo 3
Posso tentar escrever um vetor arbitrário
na forma
onde
são os coeficientes que queremos achar. Substituindo os vetores:
Agora vou escrever a igualdade componente a componente (cada componente em
).
Passo 4
Das componentes obtemos o sistema linear em
:
- primeira componente (coord.
): , - segunda componente (coord.
): , ou seja , - terceira componente (coord.
): , ou seja .
Usando
e
na primeira equação:
Portanto, para qualquer
escolhemos
que são números reais. Com esses valores a combinação
é exatamente
.
Passo 5
Interpretação e conclusão prática: como para um vetor arbitrário
conseguimos encontrar coeficientes reais
que escrevem
como combinação linear de
, isso mostra que
. Como
, segue que
. Em palavras mais amigáveis: os três vetores escolhidos já geram todo
, logo o conjunto
é gerador de
.
Resposta
Sim. O conjunto
gera
.