ex 1 : O subconjunto B=\{(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(-1,0,0),(-1,-1,0), (-1,-1,-1)\} de \mathbb{R}^{3} é um conjunto gerador de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pergunta se o subconjunto B=\{(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(-1,0,0),(-1,-1,0),(-1,-1,-1)\} de \mathbb{R}^{3} é um conjunto gerador de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas (os vetores de B):
  • v_{1}=(1,0,1)
  • v_{2}=(1,1,0)
  • v_{3}=(1,1,1)
  • v_{4}=(-1,0,0)
  • v_{5}=(-1,-1,0)
  • v_{6}=(-1,-1,-1)
O que é pedido: decidir se todo vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B (isto é, se \operatorname{span}(B)=\mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Lembrete prático (definição que vamos usar): dizer que B gera \mathbb{R}^{3} significa que para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} existem escalares reais que permitem escrever
(x,y,z)=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{6}v_{6}.
Na prova escrita de prova/colégio é mais econômico tentar escrever (x,y,z) como combinação linear de três vetores de B (se três deles forem tais que qualquer (x,y,z) seja combinação, já está provado). Vou escolher três vetores de B que deixam o sistema simples de resolver: v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(1,1,0) e v_{4}=(-1,0,0). A escolha é só para simplificar contas — se der para escrever um vetor arbitrário com esses três, então B gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Posso tentar escrever um vetor arbitrário (x,y,z) na forma
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{4}=(x,y,z),
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} são os coeficientes que queremos achar. Substituindo os vetores:
\alpha(1,0,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(-1,0,0)=(x,y,z).
Agora vou escrever a igualdade componente a componente (cada componente em \mathbb{R}).

Passo 4

Das componentes obtemos o sistema linear em \alpha,\beta,\gamma:
  • primeira componente (coord. x): \alpha+\beta-\gamma = x,
  • segunda componente (coord. y): 0\cdot\alpha+\beta+0\cdot\gamma = y, ou seja \beta = y,
  • terceira componente (coord. z): \alpha+0\cdot\beta+0\cdot\gamma = z, ou seja \alpha = z.
Usando \beta=y e \alpha=z na primeira equação:
z + y - \gamma = x \quad\Rightarrow\quad \gamma = z + y - x.
Portanto, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} escolhemos
\alpha = z,\qquad \beta = y,\qquad \gamma = z+y-x,
que são números reais. Com esses valores a combinação
z\,v_{1}+y\,v_{2}+(z+y-x)\,v_{4}
é exatamente (x,y,z).

Passo 5

Interpretação e conclusão prática: como para um vetor arbitrário (x,y,z) conseguimos encontrar coeficientes reais \alpha,\beta,\gamma que escrevem (x,y,z) como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{4}, isso mostra que \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{4}\}=\mathbb{R}^{3}. Como \{v_{1},v_{2},v_{4}\}\subset B, segue que \operatorname{span}(B)=\mathbb{R}^{3}. Em palavras mais amigáveis: os três vetores escolhidos já geram todo \mathbb{R}^{3}, logo o conjunto B é gerador de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. O conjunto B gera \mathbb{R}^{3}.

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