Q15: Seja p(x)=-4-22 x-19 x^{2} e \beta=\left\{-2-6 x-4 x^{2}, \quad 1+5 x+6 x^{2}, \quad 2+4 x+3 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) 1
(C) -4
(D) 4
(E) 3
(F) 2
(G) -1
(H) -3
Passo 1
O enunciado dá:
O polinômio p(x) = -4 -22x -19x^{2}.
A base \beta é composta por\beta_1 = -2 -6x -4x^{2},\qquad \beta_2 = 1 +5x +6x^{2},\qquad \beta_3 = 2 +4x +3x^{2}.
O que se pede:
Se [p]_{\beta} = (a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática):
Dizer que (a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta significa que p é combinação linear das três funções da base:p(x) = a\,\beta_1(x) + b\,\beta_2(x) + c\,\beta_3(x).
Como todos são polinômios de grau \le 2, basta expandir essa igualdade e igualar os coeficientes das potências 1, x e x^{2}. Isso gera um sistema linear para a,b,c.