Q15: Seja p(x)=-4-22 x-19 x^{2} e
\beta=\left\{-2-6 x-4 x^{2}, \quad 1+5 x+6 x^{2}, \quad 2+4 x+3 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) 1
(C) -4
(D) 4
(E) 3
(F) 2
(G) -1
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá:
  • O polinômio p(x) = -4 -22x -19x^{2}.
  • A base \beta é composta por \beta_1 = -2 -6x -4x^{2},\qquad \beta_2 = 1 +5x +6x^{2},\qquad \beta_3 = 2 +4x +3x^{2}.
O que se pede:
  • Se [p]_{\beta} = (a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Dizer que (a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta significa que p é combinação linear das três funções da base: p(x) = a\,\beta_1(x) + b\,\beta_2(x) + c\,\beta_3(x).
  • Como todos são polinômios de grau \le 2, basta expandir essa igualdade e igualar os coeficientes das potências 1, x e x^{2}. Isso gera um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e expandindo:
a(-2-6x-4x^{2}) + b(1+5x+6x^{2}) + c(2+4x+3x^{2}) = -4 -22x -19x^{2}.
Agora agrupo coeficientes por potência de x.

Passo 4

Igualando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} -2a + b + 2c = -4,\\[4pt] -6a + 5b + 4c = -22,\\[4pt] -4a + 6b + 3c = -19. \end{cases}]

Passo 5

Eliminação para reduzir o sistema (explicando cada passo):
  1. Multiplico a primeira equação por 3:
-6a + 3b + 6c = -12.
Subtraio essa equação da segunda equação:
(-6a+5b+4c)-(-6a+3b+6c) = -22 - (-12).
Isso dá
2b -2c = -10 \quad\Longrightarrow\quad b - c = -5.

Passo 6

  1. Multiplico a primeira equação por 2:
-4a + 2b + 4c = -8.
Subtraio essa equação da terceira equação:
(-4a+6b+3c)-(-4a+2b+4c) = -19 - (-8).
Isso dá
4b - c = -11.

Passo 7

Substituo b em função de c (da equação b - c = -5, temos b = c -5) na equação 4b - c = -11:
4(c-5) - c = -11.
Calculo passo a passo:
4c -20 - c = -11,
3c -20 = -11,
3c = 9,
c = 3.

Passo 8

Verificação rápida (opcional e didática):
  • Com c=3 obtemos b = c -5 = 3 -5 = -2.
  • Da primeira equação -2a + b + 2c = -4 substituindo b=-2,\;c=3: -2a -2 +6 = -4 \implies -2a +4 = -4 \implies -2a = -8 \implies a = 4.
  • Logo (a,b,c) = (4,-2,3). Se substituir de volta nas outras equações, todas fecham — portanto c=3 está correto.

Resposta

(E) 3

Exercícios relacionados