Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
, então
é uma base de
. II. Se
são coplanares, então
é LD.
III. Se
é base, então
é LI.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
I. Se
III. Se
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá:
-
conjunto de três vetores distintos em . -
, , .
O enunciado pede que avaliemos a veracidade das afirmativas:
I. Se, então é base de .
II. Sesão coplanares, então é linearmente dependente (LD).
III. Seé base, então é linearmente independente (LI).
Vou analisar cada afirmativa separadamente, usando definições e exemplos quando necessário.
Passo 2
Relembrando definições importantes (mini-aula bem direta):
-
é o conjunto de todas as combinações lineares com . É o subespaço gerado por esses vetores. - Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
é
. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
- Uma base de
é um conjunto de exatamente três vetores em que é LI (e, com isso, gera todo ). - Três vetores são coplanares (no contexto de vetores em
) significa que todos eles estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem; isto equivale a dizer que o subespaço por eles gerado tem dimensão .
Esses conceitos serão usados para decidir as afirmativas.
Passo 3
Avaliação da afirmativa I.
Afirmativa I diz: se
então
é base de
.
Interpretação:
não é combinação linear de
e
. Isso garante que
adiciona uma nova “direção” fora do plano gerado por
. Contudo, para formar uma base de
precisamos que os três vetores sejam LI. A hipótese
garante que
não depende de
, mas não garante nada sobre a relação entre
e
: eles podem ser dependentes entre si (por exemplo, um múltiplo do outro). Se
e
forem dependentes, então o conjunto com três vetores terá dependência porque já há dependência entre os dois primeiros.
Contraexemplo concreto (mostrando I falsa): tome
Aqui
, então
e
são LD; note que
porque
é o eixo
e
está no eixo
. No entanto
é LD porque já existe dependência entre
e
(por exemplo
). Logo a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Avaliação da afirmativa II.
Afirmativa II diz: se
são coplanares, então
é LD.
Explicação e prova direta: ser coplanares (no sentido usado em álgebra linear para vetores) significa que existe um plano que passa pela origem contendo os três vetores; portanto o subespaço gerado por eles tem dimensão no máximo
. Mas se o espaço gerado tem dimensão
, não é possível que três vetores sejam LI (pois um conjunto LI de vetores teria dimensão igual ao número de vetores). Assim qualquer conjunto de três vetores contidos num plano de dimensão
é necessariamente linearmente dependente. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Um modo alternativo e concreto: existem vetores
tais que cada
pode ser escrito como combinação linear
. Então os três vetores vivem em um espaço de dimensão
, e por contagem de dimensão três vetores em espaço de dimensão
são LD.
Passo 5
Avaliação da afirmativa III.
Afirmativa III diz: se
é base, então
é LI.
Prova:
sendo base de
implica que
são LI. Uma propriedade básica de LI é que qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Mais formalmente, suponha que exista relação
Então podemos escrever
Como o triplo é LI, os coeficientes devem ser todos zero:
. Logo
é LI. Portanto a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Conclusão final das verificações:
- I é falsa (existe contraexemplo).
- II é verdadeira (três vetores em plano passam pela origem são LD).
- III é verdadeira (subconjunto de conjunto LI é LI).
Resposta
(F)