Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}. II. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
III. Se S é base, então A é LI.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá:
  • S=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\} conjunto de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
  • A=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\}.
    O enunciado pede que avaliemos a veracidade das afirmativas:
    I. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.
    II. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S é linearmente dependente (LD).
    III. Se S é base, então A é linearmente independente (LI).
Vou analisar cada afirmativa separadamente, usando definições e exemplos quando necessário.

Passo 2

Relembrando definições importantes (mini-aula bem direta):
  • \operatorname{span}\{ \vec{u},\vec{w}\} é o conjunto de todas as combinações lineares a\vec{u}+b\vec{w} com a,b\in\mathbb{R}. É o subespaço gerado por esses vetores.
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\cdots+\alpha_k\vec{v}_k=\vec{0}
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
  • Uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3} que é LI (e, com isso, gera todo \mathbb{R}^{3}).
  • Três vetores são coplanares (no contexto de vetores em \mathbb{R}^3) significa que todos eles estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem; isto equivale a dizer que o subespaço por eles gerado tem dimensão \le 2.
Esses conceitos serão usados para decidir as afirmativas.

Passo 3

Avaliação da afirmativa I.
Afirmativa I diz: se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.
Interpretação: \vec{v}_3 não é combinação linear de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Isso garante que \vec{v}_3 adiciona uma nova “direção” fora do plano gerado por \vec{v}_1,\vec{v}_2. Contudo, para formar uma base de \mathbb{R}^3 precisamos que os três vetores sejam LI. A hipótese \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} garante que \vec{v}_3 não depende de \vec{v}_1,\vec{v}_2, mas não garante nada sobre a relação entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2: eles podem ser dependentes entre si (por exemplo, um múltiplo do outro). Se \vec{v}_1 e \vec{v}_2 forem dependentes, então o conjunto com três vetores terá dependência porque já há dependência entre os dois primeiros.
Contraexemplo concreto (mostrando I falsa): tome
\vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(2,0,0),\qquad \vec{v}_3=(0,1,0).
Aqui \vec{v}_2=2\vec{v}_1, então \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são LD; note que \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} porque \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é o eixo x e \vec{v}_3 está no eixo y. No entanto \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD porque já existe dependência entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2 (por exemplo 2\vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{0}). Logo a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Avaliação da afirmativa II.
Afirmativa II diz: se \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são coplanares, então S é LD.
Explicação e prova direta: ser coplanares (no sentido usado em álgebra linear para vetores) significa que existe um plano que passa pela origem contendo os três vetores; portanto o subespaço gerado por eles tem dimensão no máximo 2. Mas se o espaço gerado tem dimensão \le 2, não é possível que três vetores sejam LI (pois um conjunto LI de vetores teria dimensão igual ao número de vetores). Assim qualquer conjunto de três vetores contidos num plano de dimensão 2 é necessariamente linearmente dependente. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Um modo alternativo e concreto: existem vetores \vec{u},\vec{w} tais que cada \vec{v}_i pode ser escrito como combinação linear a_i\vec{u}+b_i\vec{w}. Então os três vetores vivem em um espaço de dimensão 2, e por contagem de dimensão três vetores em espaço de dimensão 2 são LD.

Passo 5

Avaliação da afirmativa III.
Afirmativa III diz: se S é base, então A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI.
Prova: S sendo base de \mathbb{R}^3 implica que \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são LI. Uma propriedade básica de LI é que qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Mais formalmente, suponha que exista relação
\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{0}.
Então podemos escrever
\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+0\cdot\vec{v}_3=\vec{0}.
Como o triplo é LI, os coeficientes devem ser todos zero: \alpha=\beta=0. Logo A é LI. Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Conclusão final das verificações:
  • I é falsa (existe contraexemplo).
  • II é verdadeira (três vetores em plano passam pela origem são LD).
  • III é verdadeira (subconjunto de conjunto LI é LI).

Resposta

(F)

Exercícios relacionados