Ex. 2: Transforme as curvas dadas de coordenadas polares para cartesianas e represente-os graficamente:
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
O que se pede:
- Transformar essa equação para coordenadas cartesianas (ou seja, obter uma relação entre
e ). - Representar graficamente a curva obtida (descrever como esboçá-la).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre coordenadas polares e cartesianas. Se um ponto tem coordenadas polares
, então suas coordenadas cartesianas
são dadas por
onde
é a distância ao eixo origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Essas fórmulas significam: multiplico
pelo cosseno do ângulo para obter a coordenada
e por seno para obter
.
Agora aplico essas relações à equação dada. Multiplico ambos os lados por
:
Usando
e
, substituo:
Pronto: obtivemos a forma cartesiana da curva.
Passo 3
Interpretação da equação cartesiana
.
- É uma equação linear em
e , portanto representa uma reta no plano. - Para escrever no formato inclinação-ordenada, isolo
:
Aqui a inclinação (slope) da reta é
e a ordenada na origem (intercepto em
) é
.
-
Interceptos com os eixos:
- Intercepto em
: em temos , isto é o ponto . - Intercepto em
: em temos então , ponto .
- Intercepto em
-
Vetor normal e distância ao origem:
- O vetor normal à reta é
(vem dos coeficientes da forma ). - A distância perpendicular da reta à origem é
(Isso explica por que a reta não passa pela origem: substituirdá , impossível.) - O vetor normal à reta é
Passo 4
Observações sobre representação em coordenadas polares:
- A forma original
pode ter denominador zero para alguns ângulos (quando ); nesses o tende ao infinito — isso corresponde à direção ao longo da qual a reta é “vista ao infinito” na parametrização polar. Mesmo assim, a equação cartesiana é a descrição completa da reta no plano (o ponto origem não faz parte dela). - Regra geral útil (que vale como truque rápido na prova): uma equação polar da forma
transforma-se diretamente em Exemplo rápido de reforço: corresponde a .
Passo 5
Como esboçar a reta no papel (passo a passo para a prova):
- Marque os pontos
e . - Desenhe a reta que passa por esses dois pontos — essa é a reta
. - Verifique a inclinação: ao avançar 3 unidades em
a reta sobe unidades (porque ). - Opcional: desenhe também a normal
partindo de algum ponto da reta para visualizar a perpendicularidade.
Resposta
Reta de inclinação
com interceptos
e
.