Ex. 2: Transforme as curvas dadas de coordenadas polares para cartesianas e represente-os graficamente:
r=\frac{1}{2 \cos \theta-3 \operatorname{sen} \theta}

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\frac{1}{2\cos\theta-3\sin\theta}.
O que se pede:
  • Transformar essa equação para coordenadas cartesianas (ou seja, obter uma relação entre x e y).
  • Representar graficamente a curva obtida (descrever como esboçá-la).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação básica entre coordenadas polares e cartesianas. Se um ponto tem coordenadas polares (r,\theta), então suas coordenadas cartesianas (x,y) são dadas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância ao eixo origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Essas fórmulas significam: multiplico r pelo cosseno do ângulo para obter a coordenada x e por seno para obter y.
Agora aplico essas relações à equação dada. Multiplico ambos os lados por 2\cos\theta-3\sin\theta:
r\bigl(2\cos\theta-3\sin\theta\bigr)=1.
Usando r\cos\theta=x e r\sin\theta=y, substituo:
2x-3y=1.
Pronto: obtivemos a forma cartesiana da curva.

Passo 3

Interpretação da equação cartesiana \;2x-3y=1\;.
  • É uma equação linear em x e y, portanto representa uma reta no plano.
  • Para escrever no formato inclinação-ordenada, isolo y:
y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}.
Aqui a inclinação (slope) da reta é m=\frac{2}{3} e a ordenada na origem (intercepto em y) é \;-\frac{1}{3}.
  • Interceptos com os eixos:
    • Intercepto em y: em x=0 temos y=-\frac{1}{3}, isto é o ponto \left(0,-\frac{1}{3}\right).
    • Intercepto em x: em y=0 temos 2x=1 então x=\frac{1}{2}, ponto \left(\frac{1}{2},0\right).
  • Vetor normal e distância ao origem:
    • O vetor normal à reta é (2,-3) (vem dos coeficientes da forma 2x-3y=1).
    • A distância perpendicular da reta à origem é d=\frac{|1|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\\ } \frac{1}{\sqrt{13}}.
    (Isso explica por que a reta não passa pela origem: substituir (0,0) 0=1, impossível.)

Passo 4

Observações sobre representação em coordenadas polares:
  • A forma original r=\dfrac{1}{2\cos\theta-3\sin\theta} pode ter denominador zero para alguns ângulos \theta (quando 2\cos\theta-3\sin\theta=0); nesses \theta o r tende ao infinito — isso corresponde à direção ao longo da qual a reta é “vista ao infinito” na parametrização polar. Mesmo assim, a equação cartesiana \;2x-3y=1\; é a descrição completa da reta no plano (o ponto origem não faz parte dela).
  • Regra geral útil (que vale como truque rápido na prova): uma equação polar da forma r=\frac{k}{a\cos\theta+b\sin\theta}transforma-se diretamente em ax+by=k.Exemplo rápido de reforço: r=\dfrac{4}{\cos\theta+\sin\theta} corresponde a x+y=4.

Passo 5

Como esboçar a reta no papel (passo a passo para a prova):
  1. Marque os pontos \left(0,-\tfrac{1}{3}\right) e \left(\tfrac{1}{2},0\right).
  2. Desenhe a reta que passa por esses dois pontos — essa é a reta \;2x-3y=1\;.
  3. Verifique a inclinação: ao avançar 3 unidades em x a reta sobe 2 unidades (porque m=\tfrac{2}{3}).
  4. Opcional: desenhe também a normal (2,-3) partindo de algum ponto da reta para visualizar a perpendicularidade.

Resposta

2x-3y=1
Reta de inclinação m=\dfrac{2}{3} com interceptos \left(0,-\dfrac{1}{3}\right) e \left(\dfrac{1}{2},0\right).

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