Ex. 2: Transforme as curvas dadas de coordenadas polares para cartesianas e represente-os graficamente:
Passo 1
O enunciado pede: transformar a curva dada em coordenadas polares para coordenadas cartesianas e representá-la graficamente. A informação que temos é a equação em polares
. Na imagem que você anexou eu notei um desenho de uma reta dada por
(peguei esse dado da imagem), mas a curva que vamos transformar explicitamente é
.
Passo 2
Vamos lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial e é uma fórmula que você deve decorar para a prova. Para um ponto no plano,
Aqui
é a distância do ponto à origem (sempre
em representação padrão) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo no sentido anti-horário. Essas duas fórmulas dizem como obter
e
a partir de
e
.
Passo 3
Para eliminar
e passar para uma equação apenas em
e
, use a identidade (que também é importante conhecer):
A identidade
é usada aqui. Ela é básica e válida para todo
.
Passo 4
Agora substituímos o dado da curva polar
na identidade. Como
, obtemos
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação
representa um círculo de centro na origem e raio
. Explico por quê: a forma geral de um círculo centrado na origem é
, onde
é o raio; aqui
, logo
.
Passo 6
Representação paramétrica (útil para desenhar ou entender pontos): em coordenadas polares sua curva já dá uma parametrização natural, basta variar
. Usando as fórmulas do passo 2 com
,
Isso descreve o círculo completo uma vez que
vai de
a
. A orientação (o sentido em que o ponto percorre o círculo conforme
cresce) é anti-horária.
Passo 7
Exemplos de pontos para você fixar e poder desenhar no rascunho da prova sem calculadora:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
(ou ): . - Para
: .
Passo 8
Como desenhar rapidamente no papel durante a prova:
- Marque a origem.
- Com uma régua desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
, , , . - Faça um traço suave e redondo passando por esses pontos — isso é o círculo de raio
. - Se quiser indicar a parametrização polar, desenhe uma seta no sentido anti-horário para mostrar que
aumenta nesse sentido.
Resposta
Círculo de centro
e raio
.