Ex. 2: Transforme as curvas dadas de coordenadas polares para cartesianas e represente-os graficamente:
r=3

Passo 1

O enunciado pede: transformar a curva dada em coordenadas polares para coordenadas cartesianas e representá-la graficamente. A informação que temos é a equação em polares r=3. Na imagem que você anexou eu notei um desenho de uma reta dada por \theta=\theta_0 (peguei esse dado da imagem), mas a curva que vamos transformar explicitamente é r=3.

Passo 2

Vamos lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial e é uma fórmula que você deve decorar para a prova. Para um ponto no plano,
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre \ge 0 em representação padrão) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário. Essas duas fórmulas dizem como obter x e y a partir de r e \theta.

Passo 3

Para eliminar r e passar para uma equação apenas em x e y, use a identidade (que também é importante conhecer):
x^{2}+y^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
A identidade \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 é usada aqui. Ela é básica e válida para todo \theta.

Passo 4

Agora substituímos o dado da curva polar r=3 na identidade. Como r^{2}=3^{2}=9, obtemos
x^{2}+y^{2}=9.
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação
x^{2}+y^{2}=9
representa um círculo de centro na origem e raio \sqrt{9}=3. Explico por quê: a forma geral de um círculo centrado na origem é x^{2}+y^{2}=R^{2}, onde R é o raio; aqui R^{2}=9, logo R=3.

Passo 6

Representação paramétrica (útil para desenhar ou entender pontos): em coordenadas polares sua curva já dá uma parametrização natural, basta variar \theta. Usando as fórmulas do passo 2 com r=3,
x(\theta)=3\cos\theta,\qquad y(\theta)=3\sin\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Isso descreve o círculo completo uma vez que \theta vai de 0 a 2\pi. A orientação (o sentido em que o ponto percorre o círculo conforme \theta cresce) é anti-horária.

Passo 7

Exemplos de pontos para você fixar e poder desenhar no rascunho da prova sem calculadora:
  • Para \theta=0: (x,y)=(3,0).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(0,3).
  • Para \theta=\pi: (x,y)=(-3,0).
  • Para \theta=-\tfrac{\pi}{2} (ou 3\pi/2): (x,y)=(0,-3).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{4}: (x,y)=\bigl(3/\sqrt{2},\,3/\sqrt{2}\bigr).

Passo 8

Como desenhar rapidamente no papel durante a prova:
  • Marque a origem.
  • Com uma régua desenhe os eixos x e y.
  • Marque os pontos (3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3).
  • Faça um traço suave e redondo passando por esses pontos — isso é o círculo de raio 3.
  • Se quiser indicar a parametrização polar, desenhe uma seta no sentido anti-horário para mostrar que \theta aumenta nesse sentido.

Resposta

x^{2}+y^{2}=9
Círculo de centro (0,0) e raio 3.

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