Ex. 3: Transforme as curvas dadas de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
(x-2)^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) transformar a curva dada em coordenadas cartesianas para coordenadas polares; (2) representar graficamente o resultado (descrever o gráfico / como esboçá‑lo). A informação dada é a equação da curva em coordenadas cartesianas:
(x-2)^{2}+y^{2}=4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e como relacioná‑las com as coordenadas cartesianas. Em polares usamos dois números: r (a distância do ponto à origem) e \theta (o ângulo medido a partir do eixo x positivo). A relação com x e y é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r pode ser igual a zero ou positivo; em representações polares às vezes permitimos r<0 (o ponto com r<0 e ângulo \theta é o mesmo que o ponto com |r| e ângulo \theta+\pi). Vou usar essas fórmulas para substituir x e y na equação dada.

Passo 3

Substituímos x = r\cos\theta e y = r\sin\theta em (x-2)^{2}+y^{2}=4. Fazendo a substituição e desenvolvendo passo a passo:
(r\cos\theta - 2)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = 4.
Expandindo o primeiro quadrado:
r^{2}\cos^{2}\theta - 4r\cos\theta + 4 + r^{2}\sin^{2}\theta = 4.
Agora juntamos os termos com r^{2}. Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, temos:
r^{2} - 4r\cos\theta + 4 = 4.
Subtraindo 4 dos dois lados:
r^{2} - 4r\cos\theta = 0.
Fatorando:
r\bigl(r - 4\cos\theta\bigr) = 0.
Portanto as soluções são r=0 ou
r = 4\cos\theta.

Passo 4

Interpretação das soluções:
  • r=0 é apenas a origem (0,0). Note que esse ponto também aparece em r=4\cos\theta quando \cos\theta=0 (ou seja, \theta=\pm\pi/2), então não precisamos tratá‑lo separadamente na descrição do traçado.
  • A equação polar principal que descreve a curva é
r = 4\cos\theta.
Observações sobre o sinal de r: para ângulos em que \cos\theta\ge 0 (isto é, \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] modulo 2\pi), r\ge 0 e o ponto está na direção \theta. Para ângulos com \cos\theta<0, temos r<0; nesse caso o par (r,\theta) representa o mesmo ponto que (|r|,\theta+\pi). Mesmo permitindo esses sinais, a curva completa é a mesma: a curva polar r=4\cos\theta desenha o círculo.
Vou checar alguns pontos para ficar seguro e ver a forma:
  • Para \theta=0: r=4, ponto cartesiano (r\cos\theta,r\sin\theta)=(4,0) — é o ponto mais à direita do círculo.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{3}: r=4\cos\tfrac{\pi}{3}=4\cdot\tfrac{1}{2}=2. O ponto cartesiano é (2\cos\tfrac{\pi}{3},2\sin\tfrac{\pi}{3})=(1,\sqrt{3}). Verificando na equação original: (1-2)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4, ok.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: r=0, ponto na origem — o círculo passa pela origem.
  • Para \theta=\pi: r=4\cos\pi=4(-1)=-4. Usando r=-4 e \theta=\pi é o mesmo que usar r=4 e \theta=0, ou seja, o ponto (4,0) novamente. Isso confirma que a fórmula polar abrange todo o círculo (os valores com r<0 apenas reparametrizam pontos já traçados).

Passo 5

Descrição gráfica e como esboçar (passo a passo, do jeito que você faria na prova):
  1. Reconheça a forma cartesiana original: (x-2)^{2}+y^{2}=4 é um círculo de centro (2,0) e raio 2. Esse reconhecimento é imediato porque a equação já está em forma de círculo (centro em (2,0), raio 2).
  2. Em coordenadas polares a mesma curva é dada por r=4\cos\theta. Para desenhar em um papel polar:
    • Marque o centro e raio do círculo em coordenadas cartesianas: centro em x=2 no eixo x, raio 2. Desenhe o círculo que toca a origem.
    • Se quiser desenhar usando a equação r=4\cos\theta, calcule alguns valores de \theta em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (onde r\ge 0) e plote r na direção do ângulo \theta. Por exemplo: em \theta=0 marque r=4; em \theta=\pm\tfrac{\pi}{3} marque r=2; em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} marque r=0. Esses pontos já permitem esboçar o arco direito do círculo; os demais pontos do círculo aparecem por simetria ou por permitir r<0.
  3. Conclusão prática para o desenho: o gráfico é o círculo de centro (2,0) e raio 2, que em polares tem a expressão simples r=4\cos\theta.

Resposta

r=4\cos\theta\nCírculo de centro (2,0) e raio 2 (passa pela origem).

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