Ex. 3: Transforme as curvas dadas de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) transformar a curva dada em coordenadas cartesianas para coordenadas polares; (2) representar graficamente o resultado (descrever o gráfico / como esboçá‑lo). A informação dada é a equação da curva em coordenadas cartesianas:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e como relacioná‑las com as coordenadas cartesianas. Em polares usamos dois números:
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo medido a partir do eixo
positivo). A relação com
e
é
Aqui
pode ser igual a zero ou positivo; em representações polares às vezes permitimos
(o ponto com
e ângulo
é o mesmo que o ponto com
e ângulo
). Vou usar essas fórmulas para substituir
e
na equação dada.
Passo 3
Substituímos
e
em
. Fazendo a substituição e desenvolvendo passo a passo:
Expandindo o primeiro quadrado:
Agora juntamos os termos com
. Como
, temos:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Portanto as soluções são
ou
Passo 4
Interpretação das soluções:
-
é apenas a origem . Note que esse ponto também aparece em quando (ou seja, ), então não precisamos tratá‑lo separadamente na descrição do traçado. - A equação polar principal que descreve a curva é
Observações sobre o sinal de
: para ângulos em que
(isto é,
modulo
),
e o ponto está na direção
. Para ângulos com
, temos
; nesse caso o par
representa o mesmo ponto que
. Mesmo permitindo esses sinais, a curva completa é a mesma: a curva polar
desenha o círculo.
Vou checar alguns pontos para ficar seguro e ver a forma:
- Para
: , ponto cartesiano — é o ponto mais à direita do círculo. - Para
: . O ponto cartesiano é . Verificando na equação original: , ok. - Para
: , ponto na origem — o círculo passa pela origem. - Para
: . Usando e é o mesmo que usar e , ou seja, o ponto novamente. Isso confirma que a fórmula polar abrange todo o círculo (os valores com apenas reparametrizam pontos já traçados).
Passo 5
Descrição gráfica e como esboçar (passo a passo, do jeito que você faria na prova):
- Reconheça a forma cartesiana original:
é um círculo de centro e raio . Esse reconhecimento é imediato porque a equação já está em forma de círculo (centro em , raio ). - Em coordenadas polares a mesma curva é dada por
. Para desenhar em um papel polar: - Marque o centro e raio do círculo em coordenadas cartesianas: centro em
no eixo , raio . Desenhe o círculo que toca a origem. - Se quiser desenhar usando a equação
, calcule alguns valores de em (onde ) e plote na direção do ângulo . Por exemplo: em marque ; em marque ; em marque . Esses pontos já permitem esboçar o arco direito do círculo; os demais pontos do círculo aparecem por simetria ou por permitir .
- Marque o centro e raio do círculo em coordenadas cartesianas: centro em
- Conclusão prática para o desenho: o gráfico é o círculo de centro
e raio , que em polares tem a expressão simples .