Ex 9 Você precisa de um conversor DA que suporte um intervalo de 12 V com resolução de 20 mV ou menos. Quantos bits são necessários?

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos bits são necessários em um conversor analógico-digital (DA) que suporte um intervalo total de tensão de 12\\ \text{V} com resolução de 20\\ \text{mV} ou menor. Dados importantes:
  • Intervalo total (full scale): V_{FS} = 12\\ \text{V}.
  • Resolução máxima permitida (passo quantizado): \Delta_{\max} = 20\\ \text{mV} = 0,02\\ \text{V}.
    Pergunta a responder: qual o menor inteiro N (número de bits) que garante \Delta \le 0,02\\ \text{V}?

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (aula rápida, sem mistério):
  • A resolução de um ADC (o tamanho de um LSB, isto é, o menor incremento distinguível) é o intervalo total dividido pelo número de níveis digitais.
  • Para um ADC com N bits há 2^{N} níveis distintos (códigos) normalmente usados, então uma fórmula comum para o passo quantizado é
\Delta = \frac{V_{FS}}{2^{N}},
onde \Delta é o passo (em volts), V_{FS} é o intervalo total (em volts) e N é o número de bits.
  • Observação prática: algumas referências usam \Delta = \dfrac{V_{FS}}{2^{N}-1}. Vou mostrar rapidamente que isso não muda a resposta aqui (a diferença é pequena), mas usarei a fórmula padrão \Delta = \dfrac{V_{FS}}{2^{N}}.

Passo 3

Substituir os valores numéricos e impor a condição de resolução:
\Delta = \frac{V_{FS}}{2^{N}} \le 0,02.
Com V_{FS}=12 isso fica
\frac{12}{2^{N}} \le 0,02.

Passo 4

Isolar 2^{N} e resolver para N:
2^{N} \ge \frac{12}{0,02} = 600.
Agora aplicamos logaritmo base 2:
N \ge \log_{2}600 = \frac{\ln 600}{\ln 2} \approx \frac{6,3969}{0,6931} \approx 9,23.
Como N deve ser inteiro, é necessário tomar o próximo inteiro maior ou igual: N=10.

Passo 5

Verificação rápida usando a fórmula alternativa \Delta = \dfrac{V_{FS}}{2^{N}-1}:
\frac{12}{2^{N}-1} \le 0,02 \quad\Rightarrow\quad 2^{N}-1 \ge 600 \quad\Rightarrow\quad 2^{N} \ge 601,
o que dá \log_{2}601 \approx 9,23 também, portanto novamente N=10. Conclusão consistente.

Resposta

10 bits

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