A fim de se comunicar com um submarino, um avião emite uma onda eletromagnética com amplitude de 1000 \mathrm{~V} / \mathrm{m} que incide normalmente na interface \mathrm{ar} / \mathrm{mar}. A freqüência da onda é de 100 kHz e as constantes elétricas da água salgada são \varepsilon_{\mathrm{r}}=80, \mu_{\mathrm{r}}=1 e \sigma=2,5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. ObSERVAÇÃO: de forma a evitar erros numéricos, fazer os cálculos com a melhor precisão possível.
que distância a onda emitida deve percorrer no ar para que sua fase varie de 12^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo que veio, mesmo que nem tudo seja necessário):
  • Amplitude da onda: \;1000\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Frequência: \;f=100\\ \mathrm{kHz}=100\,000\\ \mathrm{Hz}.
  • Constantes da água salgada (fornecidas): \;\varepsilon_{\mathrm{r}}=80,\\ \mu_{\mathrm{r}}=1,\\ \sigma=2{,}5\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
  • Pedido: determinar a distância que a onda deve percorrer no ar para que sua fase varie \;12^\circ.
Observação: a pergunta é sobre a variação de fase enquanto a onda viaja no ar, então só interessam as propriedades do ar (que têm \varepsilon_{\mathrm{r}}\approx1 e \mu_{\mathrm{r}}\approx1). As constantes da água são informação do enunciado, mas não são necessárias para esse cálculo específico.

Passo 2

Conceito físico e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Para uma onda plana que se propaga na direção z, a parte espacial da fase aumenta com z como \;kz, onde \;k é o número de onda.
  • O número de onda é \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, onde \;\lambda é o comprimento de onda (distância entre fases iguais).
  • A relação entre comprimento de onda, velocidade de propagação e frequência é \;\lambda=\dfrac{v}{f}, onde:
    • \;v é a velocidade da onda no meio (para o ar, \;v\approx c, a velocidade da luz no vácuo),
    • \;f é a frequência.
  • A variação de fase \;\Delta\varphi ao percorrer uma distância \;z é \Delta\varphi = k z = \frac{2\pi}{\lambda}\,z.
  • Portanto a distância necessária para uma variação de fase dada é z=\frac{\Delta\varphi}{k}=\frac{\Delta\varphi}{2\pi}\,\lambda.
  • Conversão graus → radianos: \;1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}. Logo \;\Delta\varphi=12^\circ=\dfrac{12\pi}{180}=\dfrac{\pi}{15}\\ \mathrm{rad}.
Explicando de forma bem simples: a onda “gira” sua fase progressivamente enquanto avança; em uma volta inteira a fase muda 2\pi radianos e isso corresponde a uma distância \lambda; assim, uma fração da volta corresponde à mesma fração de \lambda.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda no ar com alta precisão:
  • Tomar \;c=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s} (velocidade da luz no vácuo). Para o ar, com \varepsilon_{\mathrm{r}}\approx1 e \mu_{\mathrm{r}}\approx1, usa-se v\approx c.
  • Aplicando \;\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{c}{f}: \lambda=\frac{299\,792\,458}{100\,000}=2997{,}92458\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relacionar a variação de fase pedida com a distância:
  • Usando \;z=\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}\,\lambda e a conversão de graus: \frac{\Delta\varphi}{2\pi}=\frac{12^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{30},então z=\frac{1}{30}\,\lambda.

Passo 5

Substituir o valor de \lambda obtido:
z=\frac{1}{30}\times 2997{,}92458\\ \mathrm{m} = \frac{2997{,}92458}{30}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem mental: uma mudança de fase de 12^\circ é 1/30 de um ciclo completo, então a distância pedida é 1/30 do comprimento de onda. Com \lambda de cerca de 3{,}0\\ \mathrm{km}, 1/30 disso é cerca de 100\\ \mathrm{m} — a ordem de grandeza faz sentido.

Resposta

99{,}9308193333333\\ \mathrm{m}

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