Ex 6 Um conversor AD de 8 bits tem tensões de referência em 0 e 10 V . Pede-se:
a) Qual a resolução do AD em volts?
b) Qual a representação digital para uma entrada de 6.0 V em um conversor sem compensação de 1/2LSB.
c) Qual a representação digital para uma entrada de 6.0 V em um conversor com compensação de 1/2LSB.
d) Qual a representação digital para uma entrada de 6.1 V em um conversor sem compensação de 1 / 2 \mathrm{LSB}.
e) Qual a representação digital para uma entrada de 6.1 V em um conversor com compensação de 1 / 2 \mathrm{LSB}.
f) Qual o erro de quantização do AD, considerando uma configuração sem compensação de 1 / 2 \mathrm{LSB} ?
g) Qual o erro de quantização do AD, considerando uma configuração com compensação de 1 / 2 \mathrm{LSB} ?

Passo 1

O enunciado dá um conversor AD de 8 bits com tensões de referência em 0 e 10\\ \mathrm{V}. Pede-se os itens (a) a (g) abaixo. Vou listar claramente o que cada item pede e as informações relevantes fornecidas:
  • Dados fornecidos:
    • Número de bits: n=8.
    • Tensão de referência mínima: V_{\min}=0\\ \mathrm{V}.
    • Tensão de referência máxima: V_{\max}=10\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a resolução do AD em volts?
    (b) Qual a representação digital (código de 8 bits) para uma entrada de 6{,}0\\ \mathrm{V} em um conversor sem compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}?
    (c) Mesma entrada 6{,}0\\ \mathrm{V} com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB} (ou seja, arredondamento para o nível mais próximo).
    (d) Representação digital para 6{,}1\\ \mathrm{V} sem compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}.
    (e) Representação digital para 6{,}1\\ \mathrm{V} com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}.
    (f) Qual o erro de quantização do AD, considerando configuração sem compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}?
    (g) Qual o erro de quantização do AD, considerando configuração com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}?
A partir daqui eu calculo passo a passo e ensino os conceitos necessários para cada item.

Passo 2

Primeiro conceito: resolução (tamanho do passo, chamado de \mathrm{LSB}). Um conversor de n bits tem 2^{n} níveis discretos se mapeia o intervalo completo [V_{\min},V_{\max}) em códigos de 0 a 2^{n}-1. O valor do passo (uma \mathrm{LSB}) é dado por
\mathrm{LSB}=\frac{V_{\max}-V_{\min}}{2^{n}}.
Aqui V_{\max}-V_{\min} é a faixa total de tensão e 2^{n} é o número de intervalos iguais. Substituindo os dados:
\mathrm{LSB}=\frac{10\\ \mathrm{V}-0\\ \mathrm{V}}{2^{8}}=\frac{10}{256}\\ \mathrm{V}=\frac{5}{128}\\ \mathrm{V}.
Calculando o valor numérico:
\mathrm{LSB}=0,0390625\\ \mathrm{V}=39{,}0625\\ \mathrm{mV}.
Isso é a menor variação de tensão que muda o código digital em uma unidade.

Passo 3

Como converter uma tensão V_{\text{in}} em código digital sem compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB} (isto é, usando truncamento para baixo): o código decimal é
\text{code}=\left\lfloor\frac{V_{\text{in}}}{\mathrm{LSB}}\right\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a função piso (arredonda para baixo). As etapas: dividir V_{\text{in}} por \mathrm{LSB} e tomar a parte inteira.
Aplicando para V_{\text{in}}=6{,}0\\ \mathrm{V}:
\frac{6}{\mathrm{LSB}}=\frac{6}{5/128}=6\cdot\frac{128}{5}=\frac{768}{5}=153{,}6.
Com truncamento:
\text{code}=\lfloor 153{,}6\rfloor=153.
Agora converte-se o código decimal 153 para binário em 8 bits. Decompondo:
153 = 128 + 16 + 8 + 1,
portanto os bits correspondentes são 1 em 2^{7},2^{4},2^{3},2^{0}. Assim o código binário de 8 bits é
\text{code}_{\text{bin}} = 10011001.

Passo 4

Com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB} (arredondamento ao nível mais próximo): usa-se
\text{code}=\left\lfloor\frac{V_{\text{in}}}{\mathrm{LSB}}+\tfrac{1}{2}\right\rfloor
ou equivalentemente \text{code}=\mathrm{round}\!\left(\dfrac{V_{\text{in}}}{\mathrm{LSB}}\right).
Para V_{\text{in}}=6{,}0\\ \mathrm{V} temos \dfrac{6}{\mathrm{LSB}}=153{,}6 (já calculado). Arredondando para o inteiro mais próximo:
\text{code}=\lfloor 153{,}6+0{,}5\rfloor=\lfloor 154{,}1\rfloor=154.
Converter 154 para binário ( 8 bits): 154 = 128 + 16 + 8 + 2, então
\text{code}_{\text{bin}} = 10011010.

Passo 5

Agora a entrada V_{\text{in}}=6{,}1\\ \mathrm{V} sem compensação (truncamento). Primeiro compute:
\frac{6{,}1}{\mathrm{LSB}}=6{,}1\cdot\frac{128}{5}= \frac{6{,}1\cdot128}{5}=156{,}16.
Com truncamento:
\text{code}=\lfloor 156{,}16\rfloor=156.
Converter 156 para binário ( 8 bits): 156 = 128 + 16 + 8 + 4, então
\text{code}_{\text{bin}} = 10011100.

Passo 6

Para V_{\text{in}}=6{,}1\\ \mathrm{V} com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB} (arredondamento):
\frac{6{,}1}{\mathrm{LSB}}=156{,}16
e
\text{code}=\lfloor 156{,}16 + 0{,}5\rfloor=\lfloor 156{,}66\rfloor=156.
Logo o código não muda nesse caso; em binário 8 bits:
\text{code}_{\text{bin}} = 10011100.

Passo 7

Erro de quantização: definição e cálculo para a configuração sem compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB}.
  • Definição: supondo que o conversor represente o nível associado ao código k pelo valor de reconstrução V_q = k\cdot\mathrm{LSB} (ou equivalentemente pela borda inferior do intervalo), o erro de quantização é
e = V_{\text{in}} - V_q.
  • No caso sem compensação (truncamento para baixo), o erro e satisfaz
0 \le e < \mathrm{LSB}.
Ou seja, o erro está entre 0 (quando a entrada coincide exatamente com um nível) e um pouco menos que 1\\ \mathrm{LSB} (quando a entrada está imediatamente antes da próxima borda). O valor máximo absoluto do erro é, portanto, menor que \mathrm{LSB}; em termos práticos podemos dizer que o pior caso é
e_{\max,\text{sem}} \approx \mathrm{LSB}=0,0390625\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Erro de quantização para a configuração com compensação de 1/2\\ \mathrm{LSB} (arredondamento para o nível mais próximo):
  • Agora a reconstrução escolhe o nível mais próximo, portanto o erro fica centrado em zero e satisfaz
-\frac{\mathrm{LSB}}{2} \le e < +\frac{\mathrm{LSB}}{2}.
  • O maior erro absoluto possível é então
e_{\max,\text{com}}=\frac{\mathrm{LSB}}{2}=0,01953125\\ \mathrm{V}=19{,}53125\\ \mathrm{mV}.

Resposta

(a) \mathrm{LSB}=\dfrac{10}{2^{8}}\\ \mathrm{V}=0,0390625\\ \mathrm{V}=39{,}0625\\ \mathrm{mV}.
(b) 6{,}0\\ \mathrm{V} sem compensação: código decimal 153, binário de 8 bits \,10011001.
(c) 6{,}0\\ \mathrm{V} com compensação 1/2\\ \mathrm{LSB}: código decimal 154, binário de 8 bits \,10011010.
(d) 6{,}1\\ \mathrm{V} sem compensação: código decimal 156, binário de 8 bits \,10011100.
(e) 6{,}1\\ \mathrm{V} com compensação 1/2\\ \mathrm{LSB}: código decimal 156, binário de 8 bits \,10011100.
(f) Erro de quantização sem compensação: 0 \le e < \mathrm{LSB}, máximo prático e_{\max,\text{sem}}\approx 0,0390625\\ \mathrm{V}.
(g) Erro de quantização com compensação: -\dfrac{\mathrm{LSB}}{2} \le e < +\dfrac{\mathrm{LSB}}{2}, máximo absoluto e_{\max,\text{com}}=0,01953125\\ \mathrm{V}.

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