Ex17. O vestibular de uma faculdade tem 80 questões, sendo 40 de português e 40 de matemática. Para os melhores 20 classificados, os acertos em cada disciplina, em ordem decrescente foram:
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Português 35 35 34 32 31 30 26 26 24 23 23 12 11 20 17 12 14 20 8 10
Matemática 31 29 27 28 28 26 30 28 25 23 21 32 31 20 21 25 20 13 23 20
a) Construa uma tabela de frequência para cada variável.
b) Construa uma tabela de frequência para o total de pontos obtidos no exame
c) Calcule as medidas de posição para a pontuação de português e de matemática.
d) Encontre o primeiro e terceiro quartis para a pontuação de português e matemática.
e) Para cada disciplina, encontre a amplitude, a variância, o desvio padrão, o CV e a diferença de quartis.
f) Interprete todos os resultados obtidos anteriormente e comente sobre a afirmação: os aprovados são melhores em português do que em matemática.
g) Em qual disciplina houve uma menor variação na pontuação? Justifique sua resposta.
h) Construa o histograma e o boxplot para cada disciplina. Avalie os resultados apresentados nos gráficos.

Passo 1

O enunciado fornece os acertos em Português e Matemática dos 20 melhores classificados (20 observações em cada disciplina) e pede:
a) tabelas de frequência para Português e Matemática;
b) tabela de frequência para o total de pontos (Português + Matemática);
c) medidas de posição (média, mediana, moda) em cada disciplina;
d) primeiro e terceiro quartis em cada disciplina;
e) amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e diferença de quartis em cada disciplina;
f) interpretação dos resultados e crítica à afirmação “os aprovados são melhores em português do que em matemática”;
g) disciplina com menor variação na pontuação;
h) construção de histograma e boxplot para cada disciplina e avaliação dos gráficos.

Passo 2

(a) Tabela de frequência para a pontuação em Português. Os valores estão em ordem crescente:
Pontuação Frequência f
8 1
10 1
11 1
12 2
14 1
17 1
20 2
23 2
24 1
26 2
30 1
31 1
32 1
34 1
35 2

Passo 3

(a) Tabela de frequência para a pontuação em Matemática:
Pontuação Frequência f
13 1
20 3
21 2
23 2
25 2
26 1
27 1
28 3
29 1
30 1
31 2
32 1

Passo 4

(b) Total de pontos T=P+M e tabela de frequência:
Total T Frequência f
30 1
31 1
33 1
34 1
37 1
38 1
40 1
42 1
44 2
46 1
49 1
54 1
56 2
59 1
60 1
61 1
64 1
66 1

Passo 5

(c) Medidas de posição:
– Português:
\displaystyle \bar x_P=\frac{443}{20}=22{,}15,
mediana =23 (10º e 11º valores ambos 23),
moda: múltipla ( 12,20,23,26,35 cada um com f=2).
– Matemática:
\displaystyle \bar x_M=\frac{501}{20}=25{,}05,
mediana =\frac{25+26}{2}=25{,}5,
moda =20 ( f=3).

Passo 6

(d) Quartis:
– Português (dados ordenados):
Q1 = média do 5º e 6º = \frac{12+14}{2}=13,
Q3 = média do 15º e 16º = \frac{30+31}{2}=30{,}5.
– Matemática:
Q1 = média do 5º e 6º = \frac{21+21}{2}=21,
Q3 = média do 15º e 16º = \frac{28+29}{2}=28{,}5.

Passo 7

(e)
– Português:
Amplitude =35-8=27.
\displaystyle \sigma_P^2=\frac{1}{20}\sum(x_i-\bar x_P)^2=76{,}1475,
\displaystyle\sigma_P=8{,}73,
\mathrm{CV}_P= \frac{8{,}73}{22{,}15}\times100\%=39{,}4\%.
IQR =Q3-Q1=30{,}5-13=17{,}5.
– Matemática:
Amplitude =32-13=19.
\displaystyle \sigma_M^2=22{,}6475,
\displaystyle\sigma_M=4{,}76,
\mathrm{CV}_M= \frac{4{,}76}{25{,}05}\times100\%=19{,}0\%.
IQR =28{,}5-21=7{,}5.

Passo 8

(f) Interpretação:
– Em média e mediana, os aprovados se saíram melhor em Matemática ( \bar x_M> \bar x_P, mediana 25{,}5>23).
– A maior moda em Matemática (20) e a moda múltipla em Português indicam maior dispersão em Português.
Logo, a afirmação “os aprovados são melhores em português do que em matemática” é falsa.

Passo 9

(g) A menor variação está em Matemática, pois \sigma_M^2=22{,}65<76{,}15=\sigma_P^2, \sigma_M=4{,}76<8{,}73=\sigma_P e \mathrm{CV}_M(19{,}0\%)<\mathrm{CV}_P(39{,}4\%).

Passo 10

(h)
Construção e avaliação:
– Histograma de Português (classes de amplitude 5): mostra distribuição dispersa, leve concentração em torno de 12–18 e 30–35 e cauda à esquerda.
– Boxplot de Português: caixa ampla (IQR = 17,5), mediana perto do topo da caixa, whiskers simétricos, sem outliers.
– Histograma de Matemática (amplitude 5): forte concentração entre 20–30, forma aproximadamente simétrica.
– Boxplot de Matemática: caixa estreita (IQR = 7,5), mediana centralizada, whiskers curtos, sem outliers.
Conclusão gráfica: Matemática é mais homogênea e centralizada, Português é mais disperso e assimétrico.

Resposta

a) Tabelas de frequência em Português e Matemática conforme Passos 2 e 3.
b) Tabela de frequência do total conforme Passo 4.
c) Português: \bar x=22{,}15, mediana 23, moda múltipla \{12,20,23,26,35\}. Matemática: \bar x=25{,}05, mediana 25{,}5, moda 20.
d) Português: Q_1=13, Q_3=30{,}5. Matemática: Q_1=21, Q_3=28{,}5.
e) Português: amplitude 27, variância 76{,}15, dp 8{,}73, CV 39{,}4\%, IQR 17{,}5. Matemática: amplitude 19, variância 22{,}65, dp 4{,}76, CV 19{,}0\%, IQR 7{,}5.
f) A afirmação é falsa: desempenho médio e mediano superior em Matemática.
g) Menor variação em Matemática (menores variância, dp e CV).
h) Histograma e boxplot mostraram maior homogeneidade e simetria em Matemática, maior dispersão e leve assimetria em Português.

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