(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões R abaixo, com as densidades de massa dadas:
e) R é limitada pela curvan 3 x^{2}+4 y^{2}=48 \mathrm{com} densidade de massa constante.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro de massa da lâmina R definida pela curva
3x^{2}+4y^{2}=48
com densidade de massa constante. O conteúdo é o cálculo de centro de massa (centroide) de uma região plana de densidade uniforme, usando as fórmulas
\bar x = \frac{1}{M}\iint_R x\,\delta\,dA \quad\text{e}\quad \bar y = \frac{1}{M}\iint_R y\,\delta\,dA,
onde M é a massa total e \delta a densidade constante.

Passo 2

Como \delta é constante, a massa total é
M = \iint_R \delta\,dA = \delta\,A,
onde A é a área de R. Assim as coordenadas do centroide ficam
\bar x = \frac{1}{A}\iint_R x\,dA, \quad \bar y = \frac{1}{A}\iint_R y\,dA.

Passo 3

A região R é simétrica em relação ao eixo y: para cada (x,y) existe (-x,y) em R. Logo
\iint_R x\,dA = 0
por cancelamento dos valores positivos e negativos, e portanto \bar x=0.

Passo 4

De modo análogo, R é simétrica em relação ao eixo x, o que implica
\iint_R y\,dA = 0
e, consequentemente, \bar y=0.

Resposta

(\bar x,\bar y) = (0,0).

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