(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões R abaixo, com as densidades de massa dadas:
d) R é o triângulo de vértices (0,0) ;(1,0) \mathrm{e}(0,1) com densidade de massa constante.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro de massa de uma lamina R, sendo R o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) com densidade de massa constante. Para lamina de densidade constante podemos tomar \rho=1 e usar as fórmulas
\bar{x} = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA, \qquad \bar{y} = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA,
onde A é a área de R. Vamos, então, (1) determinar A, (2) calcular \bar{x} e (3) calcular \bar{y}.

Passo 2

Calcular a área A do triângulo. Como base e altura valem 1,
A = \frac{1\cdot1}{2} = \frac12.

Passo 3

Escolhemos o domínio em coordenadas cartesianas:
R = \{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\\ 0\le x\le 1-y\}.
Então
\iint_{R} x\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} x\,dx\,dy.
Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{1-y} x\,dx = \frac{(1-y)^2}{2}.
Agora em y:
\int_{0}^{1} \frac{(1-y)^2}{2}\,dy = \frac12\int_{0}^{1}(1-y)^2\,dy = \frac12\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
Portanto
\iint_{R} x\,dA = \frac{1}{6},
logo
\bar{x} = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA = \frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac12} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Pela simetria do triângulo e pelos mesmos cálculos trocando x por y, obtemos
\iint_{R} y\,dA = \frac{1}{6},
e assim
\bar{y} = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA = \frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac12} = \frac{1}{3}.

Resposta

As coordenadas do centro de massa são
\bigl(\bar{x},\bar{y}\bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).

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