(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões R abaixo, com as densidades de massa dadas:
f) R=\left{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x^{3} \leq y \leq \sqrt{x}\right}; densidade de massa constante.

Passo 1

O enunciado dá a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;x^3 \le y \le \sqrt{x}\}
com densidade de massa constante. Para densidade uniforme, o centro de massa (o “centroide”) tem coordenadas
\bar x = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA \qquad\text{e}\qquad \bar y = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA,
onde
A = \iint_{R} dA.

Passo 2

Calcular a área A via integração em x:
A = \int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^3\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^3\,dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \iint_{R} x\,dA escrevendo como integral em x:
\iint_{R} x\,dA = \int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x}-x^3\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^4\,dx = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}.
Logo
\bar x = \frac{1/5}{5/12} = \frac{12}{25}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iint_{R} y\,dA integrando primeiro em y:
\iint_{R} y\,dA = \int_{0}^{1}\Bigl[\int_{x^3}^{\sqrt{x}}y\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\bigl((\sqrt{x})^2 - (x^3)^2\bigr)\,dx = \tfrac12\int_{0}^{1}(x - x^6)\,dx = \tfrac12\Bigl(\tfrac12 - \tfrac17\Bigr) = \frac{5}{28}.
Portanto
\bar y = \frac{5/28}{5/12} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}.

Resposta

(\bar x,\bar y) = \Bigl(\tfrac{12}{25},\,\tfrac{3}{7}\Bigr).

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