(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões
abaixo, com as densidades de massa dadas:
c) R é a parte superior do disco centrado na origem de raio
com densidade de massa constante.
c) R é a parte superior do disco centrado na origem de raio
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos.
A região é a metade superior do disco de raio
centrado na origem, e a densidade de massa é constante, digamos
. Queremos encontrar o centro de massa
dessa região. Para isso, vamos usar fórmulas de centroides em duas dimensões e coordenadas polares, que são naturais para discos.
A região
Passo 2
Calculamos a massa total
de
. Como a densidade é constante
, temos
A área de
é metade da área de um disco de raio
, ou seja
logo
Passo 3
Pela simetria de
em relação ao eixo
, a coordenada
do centro de massa é zero:
Passo 4
Para
, usamos a definição
Em coordenadas polares
, temos
e
. A região
corresponde a
e
. Assim,
Calculando separadamente,
Logo,
Portanto