(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões
abaixo, com as densidades de massa dadas:
d) R é o triângulo de vértices
com densidade de massa constante.
d) R é o triângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas do centro de massa de uma lamina
, sendo
o triângulo de vértices
,
e
com densidade de massa constante. Para lamina de densidade constante podemos tomar
e usar as fórmulas
onde
é a área de
. Vamos, então, (1) determinar
, (2) calcular
e (3) calcular
.
Passo 2
Calcular a área
do triângulo. Como base e altura valem
,
Passo 3
Escolhemos o domínio em coordenadas cartesianas:
Então
Primeiro integramos em
:
Agora em
:
Portanto
logo
Passo 4
Pela simetria do triângulo e pelos mesmos cálculos trocando
por
, obtemos
e assim
Resposta
As coordenadas do centro de massa são