Ex3 Derive
f(x)=7 e^raizx+raizcos (x+3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra derivar a função
f(x)=7,e^raizx ;+;raizcos(x+3)
Isso é cálculo de derivadas – mais especificamente vamos usar:
  1. derivada de e^u,
  2. derivada de u^1/2,
  3. derivada de cos u,
  4. e, como cada termo é “função dentro de função”, vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 7,e^raizx:
  1. Identificamos u(x)=raizx=x^1/2.
  2. A derivada de e^u em relação a x é e^u,u'.
  3. Então
ddxl(7,e^raizxr) =7,e^raizx;cdot;ddxl(raizxr)
  1. E ddx(raizx)=ddx(x^1/2)=tfrac12,x^-1/2=12raizx.
  2. Logo
ddxl(7,e^raizxr) =7,e^raizx;cdot;12raizx =7,e^raizx2raizx

Passo 3

Derivando o segundo termo raizcos(x+3):
  1. Reescrevemos raizcos(x+3) = [cos(x+3)]^1/2
  2. Chamamos v(x)=cos(x+3). Primeiro usamos a regra de potência:
    ddx(v^1/2)=tfrac12,v^-1/2,v'.
  3. Agora derivamos v(x)=cos(x+3). Pela regra da cadeia em cos(u), temos
    ddxcos(u)=-sin(u),u', aqui u=x+3 e u'=1. Assim
    ddxcos(x+3)=-sin(x+3).
  4. Juntando tudo:
ddxl([cos(x+3)]^1/2r) =12,[cos(x+3)]^-1/2;cdot;(-sin(x+3)) =-sin(x+3)2,raizcos(x+3)

Resposta

Somando as duas partes, a derivada de f é
boxedf'(x) =7,e^raizx2raizx ;-;sin(x+3)2raizcos(x+3)

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