Ex3 Derive
f(x)=log 3 x+raizx cdot ln (x-1x-2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para derivar
f(x)=log3x ;+;raizx,ln!l(tfracx-1x-2r)
Estamos vendo derivadas:
  1. derivada de logaritmo em base qualquer,
  2. derivada de radicais,
  3. regra do produto e regra da cadeia (no ln de fração).
    Para resolver, a gente vai usar:
  • log3x=dfracln xln3 e ddxln x=1x,
  • ddxraizx=12raizx,
  • regra do produto (uv)'=u'v+uv',
  • e que ln!l(tfracabr)=ln a-ln b,.

Passo 2

Primeiro, derive log3x.
Como log3x=dfracln xln3, vale
ddxlog3x=1ln3,ddxln x =1ln3cdot1x =1x,ln3

Passo 3

Agora derive a parte raizx,ln!l(tfracx-1x-2r).
Chama
u(x)=raizx, v(x)=ln!l(tfracx-1x-2r)
Pela regra do produto,
(u,v)'=u',v+u,v'
Aqui
u'(x)=ddxraizx=12raizx,
então a primeira parcela é
u'(x),v(x) =12raizx;ln!l(tfracx-1x-2r)

Passo 4

Falta v'(x), com
v(x)=ln(x-1)-ln(x-2)
Logo
v'(x)=1x-1-1x-2 =(x-2)-(x-1)(x-1)(x-2) =-1(x-1)(x-2)
Assim a segunda parcela do produto é
u(x),v'(x) =raizx,l(-1(x-1)(x-2)r) =-raizx(x-1)(x-2)

Passo 5

Juntando as duas parcelas da parte do produto, temos
ddxl[raizx,ln!l(tfracx-1x-2r)r] =ln!l(tfracx-1x-2r)2raizx ;-;raizx(x-1)(x-2)

Resposta

Somando tudo:
boxedf'(x) =1x,ln3 +ln!l(tfracx-1x-2r)2raizx -raizx(x-1)(x-2)

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