(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa D com a densidade pontual de massa dada:
b) D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\}; o eixo é O z e a densidade é \partial(x, y)=k \sqrt{x^{2}+y^{2}}, k constante positiva.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo O z de uma chapa plana D definida por \{(x,y):x^2+y^2\le a^2\} cuja densidade superficial é \partial(x,y)=k\sqrt{x^2+y^2}. O conteúdo principal é o cálculo de um momento de inércia de uma lâmina com densidade não uniforme, que faremos usando coordenadas polares.

Passo 2

O momento de inércia em relação ao eixo O z é dado por
I_z=\iint_{D}(x^2+y^2)\,\partial(x,y)\,dA.
Aqui (x^2+y^2) é a distância ao eixo O z ao quadrado, \partial(x,y)=k\sqrt{x^2+y^2} e dA é o elemento de área.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares (r,\theta), onde x^2+y^2=r^2, \sqrt{x^2+y^2}=r e dA=r\,dr\,d\theta. Substituindo,
I_z =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\bigl(r^2\bigr)\bigl(k\,r\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}k\,r^4\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{a}r^4\,dr=\frac{a^5}{5},
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I_z =k\int_{0}^{2\pi}\frac{a^5}{5}\,d\theta =\frac{k\,a^5}{5}\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{2\pi\,k\,a^5}{5}.

Resposta

I_z=\frac{2\pi\,k\,a^5}{5}.

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