(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa
com a densidade pontual de massa dada:
b)
; o eixo é
e a densidade é
constante positiva.
b)
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo
de uma chapa plana
definida por
cuja densidade superficial é
. O conteúdo principal é o cálculo de um momento de inércia de uma lâmina com densidade não uniforme, que faremos usando coordenadas polares.
Passo 2
O momento de inércia em relação ao eixo
é dado por
Aqui
é a distância ao eixo
ao quadrado,
e
é o elemento de área.
Passo 3
Passamos a coordenadas polares
, onde
,
e
. Substituindo,
Passo 4
Integramos primeiro em
:
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