(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa D com a densidade pontual de massa dada:
c) D=\left\{(x, y):-1 \leq x \leq 2 ; x^{2} \leq y \leq x+2\right\}, o eixo é a reta y=4 e a densidade é constante.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma chapa de densidade pontual constante (digamos \delta) sobre o eixo y=4. A região D é dada por
D = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 2,\; x^2 \le y \le x+2\}.
Para resolver, vamos usar a definição de momento de inércia em coordenadas cartesianas:
I \;=\;\iint_{D} \bigl(\text{distância ao eixo}\bigr)^{2}\,\delta\,dA \;=\;\delta\iint_{D}(4 - y)^{2}\,dA.â

Passo 2

Escrevemos o integral iterado conforme os limites de D:
I = \delta \int_{x=-1}^{2}\!\int_{y=x^2}^{\,x+2}(4 - y)^{2}\;dy\;dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y. Expandindo (4-y)^2 = y^2 -8y +16, temos
\int_{y=x^2}^{\,x+2}(4 - y)^{2}\,dy = \int_{x^2}^{\,x+2}\bigl(y^2 -8y +16\bigr)\,dy.
A primitiva é
\int (y^2 -8y +16)\,dy = \frac{y^3}{3} -4y^2 +16y.
Logo,
\begin{aligned} \int_{x^2}^{\,x+2}(4 - y)^{2}\,dy &= \Bigl[\tfrac{y^3}{3} -4y^2 +16y\Bigr]_{y=x^2}^{\,y=x+2}\\\ &= \Bigl(\tfrac{(x+2)^3}{3} -4(x+2)^2 +16(x+2)\Bigr) - \Bigl(\tfrac{(x^2)^3}{3} -4(x^2)^2 +16(x^2)\Bigr). \end{aligned}

Passo 4

Simplificando a expressão em função de x, obtemos
\int_{x^2}^{\,x+2}(4 - y)^{2}\,dy = -\frac{x^6}{3} \;+\;4x^4 \;+\;\frac{x^3}{3}\;-\;18x^2\;+\;4x\;+\;\frac{56}{3}.
Denotemos esse polinômio por
F(x) = -\tfrac{1}{3}x^6 +4x^4 +\tfrac{1}{3}x^3 -18x^2 +4x +\tfrac{56}{3}.
Então
I = \delta \int_{-1}^{2} F(x)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo de \int_{-1}^{2}F(x)\,dx:
\int_{-1}^{2}F(x)\,dx = \int_{-1}^{2}\!\Bigl(-\tfrac{x^6}{3}+4x^4+\tfrac{x^3}{3}-18x^2+4x+\tfrac{56}{3}\Bigr)\,dx.
Calculando cada parte:
\begin{aligned} \int_{-1}^{2}-\tfrac{x^6}{3}\,dx &= -\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{x^7}{7}\Big|_{-1}^{2} = -\tfrac{129}{21} = -\tfrac{43}{7},\\\ \int_{-1}^{2}4x^4\,dx &= 4\cdot\tfrac{x^5}{5}\Big|_{-1}^{2} = \tfrac{132}{5},\\\ \int_{-1}^{2}\tfrac{x^3}{3}\,dx &= \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{x^4}{4}\Big|_{-1}^{2} = \tfrac{5}{4},\\\ \int_{-1}^{2}-18x^2\,dx &= -18\cdot\tfrac{x^3}{3}\Big|_{-1}^{2} = -54,\\\ \int_{-1}^{2}4x\,dx &= 4\cdot\tfrac{x^2}{2}\Big|_{-1}^{2} = 6,\\\ \int_{-1}^{2}\tfrac{56}{3}\,dx &= \tfrac{56}{3}\,x\Big|_{-1}^{2} = 56. \end{aligned}

Passo 6

Somando todos os resultados com denominador comum 140, obtemos
\int_{-1}^{2}F(x)\,dx = \frac{4131}{140}.
Portanto
I = \delta \,\frac{4131}{140}.

Resposta

I \;=\;\delta \,\frac{4131}{140}.

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