(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa D com a densidade pontual de massa dada:
c) D=\left\{(x, y):-1 \leq x \leq 2 ; x^{2} \leq y \leq x+2\right\}, o eixo é a reta y=4 e a densidade é constante.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma chapa de densidade pontual constante (digamos \delta) sobre o eixo y=4. A região D é dada por
D = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 2,\; x^2 \le y \le x+2\}.
Para resolver, vamos usar a definição de momento de inércia em coordenadas cartesianas:
I \;=\;\iint_{D} \bigl(\text{distância ao eixo}\bigr)^{2}\,\delta\,dA \;=\;\delta\iint_{D}(4 - y)^{2}\,dA.
Passo 2
Escrevemos o integral iterado conforme os limites de D:
I = \delta \int_{x=-1}^{2}\!\int_{y=x^2}^{\,x+2}(4 - y)^{2}\;dy\;dx.
Passo 3
Calculemos primeiro a integral interna em y. Expandindo (4-y)^2 = y^2 -8y +16, temos